If `A=[(0,-"tan"(alpha)/(2)),("tan"(alpha)/(2),0)]` and I is the identity matrix of order 2, show that `I+A=(I-A)[(cos alpha,-sin alpha),(sin alpha, cos alpha)]`

Options

A. `-I+A`
B. `I-A`
C. `-I-A`
D. none of these

Answer

B

Explanation

Since `I=[(1,0),(0,1)]` and given `A=[(0,tan alpha//2),(-tan alpha//2,0)]`
`:. I-A=[(1,-tan alpha//2),(tan alpha//2,1)]`
Now, `(I-A) [(cos alpha,-sin alpha),(sin alpha,cos alpha)]`
`=[(1,tan alpha//2),(-tan alpha//2,1)][(cos alpha,-sin alpha),(sin alpha,cos alpha)]`
`=[(1,tan alpha//2),(-tan alpha//2,1)][((1-tan^(2) alpha//2)/(1+tan^(2)alpha//2),-(2 tan alpha//2)/(1+tan^(2) alpha//2)),((2 tan alpha//2)/(1+tan^(2) alpha//2),(1-tan^(2) alpha//2)/(1+tan^(2) alpha//2))]`
`=[((1-tan^(2) alpha//2)/(1+tan^(2)alpha//2)+(2 tan^(2) alpha//2)/(1+tan^(2) alpha//2),-(2 tan alpha//2)/(1+tan^(2) alpha//2)),((-tan alpha//2 (1-tan^(2) alpha//2))/(1+tan^(2) alpha//2)+(2 tan alpha//2)/(1+tan^(2) alpha//2),(2 tan^(2) alpha//2)/(1+tan^(2) alpha//2)+(1-tan^(2) alpha//2)/(1+tan^(2) alpha//2))]`
`=[(((1+tan^(2) alpha//2))/((1+tan^(2) alpha//2)),-(tan alpha//2(1+tan^(2) alpha//2))/((1+tan^(2) alpha//2))),((tan alpha//2(1+tan^(2) alpha//2))/((1+tan^(2) alpha//2)),((1+tan^(2) alpha//2))/((1+tan^(2) alpha//2)))]`
`=[(1,-tan alpha//2),(tan alpha//2,a)]`
`=I-A` [Using (1)]