`A=[[1, tan x],[-tan x,1]]`, show that `A^(T)A^(-1)=[[cos 2x,-sin 2x],[sin 2x,cos 2x]]`.

Options

A. `[(-"cos" 2x,"sin" 2x),(-sin 2x,cos 2x)]`
B. `[(cos 2x,-sin 2x),(sin 2x, cos 2x)]`
C. `[(cos 2x,cos 2x),(cos 2x, sin 2x)]`
D. none of these

Answer

B

Explanation

`|A|=|(1,tan x),(-tan x,1)|=1+tan^(2) x ne 0`
So A is invertiable. Also,
adj `A=[(1,tan x),(-tan x,1)]^(T)=[(1,-tan x),(tan x,1)]`
Now, `A^(-1)=1/(|A|)` adj A
`= 1/((1+tan^(2) x)) [(1,-tan x),(tan x,1)]`
`=[(1/(1+tan^(2) x),(-tan x)/(1+tan^(2) x)),((tan x)/(1+tan^(2) x),1/(1+tan^(2)x))]`
`:. A^(T) A^(-1)=[(1,-tan x),(tan x,1)][(1/(1+tan^(2) x),(-tan x)/(1+tan^(2) x)),((tan x)/(1+tan^(2) x),1/(1+tan^(2)x))]`
`=[((1-tan^(2) x)/(1+tan^(2) x),(-2 tan x)/(1+tan^(2)x)),((2 tan x)/(1+tan^(2)x),(1-tan^(2) x)/(1+tan^(2) x))]`
`=[(cos 2x,-sin 2 x),(sin 2x,cos 2x)]`