If the sides `a , b and c` of `ABC` are in `AdotPdot,` prove that `acos^2(C/2)+c cos^2(A/2)=(3b)/2`

Answer

`a to r; b to s; c to q; d to p`

Explanation

a. ` int(e^(2x)-1)/(e^(2x)+1)dx=int(e^(x)-e^(-x))/(e^(x)+e^(-x))dx`
`=int((e^(x)+e^(-x))')/(e^(x)+e^(-x))dx`
`=log(e^(x)+e^(-x))`
`=log(e^(2x)+1)-x+C`
b. `I=int(1)/((e^(x)+e^(-x))^(2))dx=int(e^(2x))/((e^(2x)+1)^(2))dx`
`"Put " e^(2x)+1=t " or " 2e^(2x)dx=dt`
` :. I=(1)/(2)int(1)/(t^(2))dt=-(1)/(2)(1)/(t)+C=-(1)/(2(e^(2x)+1))+C`
c. ` I=int(e^(-x))/(1+e^(x))dx=int(e^(-x)e^(-x))/(e^(-x)+1)dx`
` "Put " e^(-x)+1=t " or "-e^(-x)dx=dt`
` :. I=-int((t-1))/(t)dt=int((1)/(t)-1)dt`
`=logt-t+C`
`=log(e^(-x)+1)-(e^(-x)+1)+C`
`=log(e^(x)+1)-x-e^(-x)-1+C`
`=log(e^(x)+1)-x-e^(-x)+C`
d. `I=int(1)/(sqrt(1-e^(2x)))dx=int(e^(-x))/(sqrt(e^(-2x)-1))dx`
`"Put " e^(-x)=t " or " -e^(-x)dx=dt`
` :. I=-int(1)/(sqrt(t^(2)-1))dt`
`=-log[t+sqrt(t^(2)-1)]+C`
`=-log[e^(-x)+sqrt(e^(-2x)-1)]+C`
`=-log[(1)/(e^(x))+(sqrt(1-e^(2x)))/(e^(x))]+C`
`=-log[1+sqrt(1-e^(2x))]+loge^(x)+C`
`=x-log[1+sqrt(1-e^(2x))]+C`