एक ठोस गोला लोटन गति में है। लोटन गति में वस्तु की स्थानान्तरीय गतिज ऊर्जा `(K_(t))` के साथ-साथ घूर्णी गतिज ऊर्जा `(K_(r ))` भी होती है। गोले के लिए `K_(t):(K_(t)+K_(r ))` का अनुपात होगा

Options

A. `10:7`
B. `5:7`
C. `7:10`
D. `2:5`

Answer

B

Explanation

वस्तु की लोटनी गति में स्थानान्तरीय गतिज ऊर्जा,
`K_(t)=(1)/(2) mv_(CM)^(2)" " ...(i)`
लोटनी वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा `=K_(t)+K_(r )`
= घूर्णन गतिज ऊर्जा + स्थानान्तरीय गतिज ऊर्जा
`=(1)/(2) I omega^(2)+(1)/(2) mv_(CM)^(2)`
ठोस गोले का व्यास के परितः जड़त्वाघूर्ण, `I=(2)/(5)MR^(2)`
समी (ii) में I का मान रखने पर,
`K_(t)+K_(r )=(1)/(2)((2)/(5)MR^(2))omega^(2) +(1)/(2) mv_("CM")^(2)`
`=(1)/(2)((2)/(5)MR^(2)) ((v_(CM))/(R ))^(2) +(1)/(2) mv_(CM)^(2)`
`( :. v_(CM)=R omega)`
`=(1)/(5) mv_(CM)^(2) +(1)/(2) mv_(CM)^(2)`
`=((1)/(5)+(1)/(2)) mv_(CM)^(2)=(7)/(10) mv_(CM)^(2)" " ....(iii)`
अनुपात, `(K_(t))/(K_(t)+K_(r )) =((1)/(2) mv_(CM)^(2))/((7)/(10) mv_(CM)^(2)) =(1)/(2) xx (10)/(7) =(5)/(7)`
`:.K_(t) : K_(t)+K_(r )=5:7`
वैकल्पिक विधि
माना जड़त्वाघूर्ण, `I = x MR^(2) " " ...(i)`
ठोस गोले का जड़त्वाघूर्ण, `I =(2)/(5) MR^(2) " " ...(ii)`
समी (i) और (ii) द्वारा, `x=(2)/(5)`
स्थानान्तरीय ऊर्जा तथा कुल ऊर्जा का अनुपात निम्न प्रकार लिखा जा सकता है
`(K_(t))/(K_(t)+K_(r )) =((1)/(2) mv_(CM)^(2))/((1)/(2) mv_(CM)^(2) (1+(K^(2))/(R^(2)))) " " ...(iii)`
यहाँ, K को घूर्णन त्रिज्या कहते हैं।
जैसा कि `K= sqrt((I)/(m))` या `K^(2)=(I)/(m)`
समी (i) द्वारा, `K^(2) =(x mR^(2))/(m) = xR^(2)`
समी (iii) में `K^(2)` का मान रखने पर,
`(K_(t))/(K_(t)+K_(r )) =(1)/((1+(xR^(2))/(R^(2))))=(1)/(1+x)`
यहाँ, `x=(2)/(5)`
`rArr (K_(t))/(K_(t)+K_(r ))=(1)/(1+(2)/(5)) =(5)/(7)`