किसी दृढ़ छड़ की लंबाई L है और इसका द्रव्यमान नगण्य है | इसके दो विपरीत सिरों पर क्रमश: `m_(1)` तथा `m_(2)` द्रव्यमान के दो बिंदु-पिण्ड रखे गए हैं | इस छड़ को उसके स्वयं के लंबवत अक्ष के परित: घूर्णन कराना है, जो छड़ पर स्थित किसी बिंदु P से होकर गुजरती है (आरेख देखिए), तो बिंदु P की वह स्थिति जिसके लिए छड़ को कोणीय वेग `omega_(0)` से घूर्णन कराने के लिए आवश्यक कार्य न्यूनतम होगा, है

Options

A. `x = (m_(1)L)/(m_(1) + m_(2))`
B. `x = (m_(1))/(m_(2))L`
C. `x = (m_(2))/(m_(1))L`
D. `x = (m_(2)L)/(m_(1) + m_(2))`

Answer

D

Explanation

दिया है कि किसी दृढ़ छड़ जिसकी लम्बाई L और द्रव्यमान नगण्य है, के दोनों अन्त सिरों पर दो बिंदु-द्रव्यमान `m_(1)` और `m_(2)` स्थित हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

छड़ का कुल जड़त्व आघूर्ण
`l = m_(1)x_(1)^(2) + m_(2) (L - x)^(2)`
`rArr" "l = m_(1)x^(2) + m_(2)L^(2) + m_(2)x^(2) - 2m_(2)Lx`
चूँकि l न्यूनतम है, अर्थात
`(dl)/(dt) = 2m_(1)x + 0 + 2m_(2)x - 2m_(2)L = 0`
`rArr" "x(2m_(1) + 2m_(2)) = 2m_(2)L`
`rArr" "x = (m_(2)L)/(m_(1) + m_(2))`
जब l न्यूनतम है, तो छड़ के घूर्णन `((1)/(2) omega^(2))` पर किया गया कार्य एवं कोणीय वेग `(omega_(0))` न्यूनतम होंगे |
संक्षिप्त विधि छड़ के बिंदु P पर, जहाँ से अक्ष गुजरती है, पर छड़ को कोणीय वेग `(omega_(0))` के साथ घुमाने के लिए आवश्यक कार्य उनका द्रव्यमान केंद्र होगा | अत:
`m_(1)x = m_(2)(L - x) rArr m_(2)Ll m_(1) + m_(2)`