समय के फलन के रूप में किसी कण का स्थिति सदिश R दिया गया है
`R = 4 sin (2 pi t) hat(i) + 4 cos (2 pi t) hat(j)`
जहाँ, R मीटर में तथा t सेकण्ड में है और `hat(i)` तथा `hat(j)` क्रमश: x तथा y-दिशाओं के अनुदिश एकांक सदिश हैं | इस कण की गति के लिए निम्नांकित में से कौन-सा कथन सही नहीं है ?

Options

A. त्वरण सदिश, -R के अनुदिश है
B. त्वरण सदिश का परिमाण, `(v^(2))/(R)` है जहाँ V कण का वेग है
C. कण के वेग का परिमाण 8 m/s है
D. कण का पथ 4m त्रिज्या का वृत्त है

Answer

C

Explanation

दिया है, (i) समय के फलन के रूप में किसी कण का स्थिति सदिश R,
`R = 4 sin (2 pi y) hat(i) + 4 cos (2 pi t) hat(j)`
x-अक्ष का अवयव, `x = 4 sin 2 pi t" "...(i)`
y-अक्ष का अवयव, `y = 4 cos 2 pi t" "...(ii)`
समी (i) और समी (ii) को वर्ग करके जोड़ने पर,
`x^(2) + y^(2) = 4^(2) [sin^(2) (2 pi t) + cos^(2) (2 pi t)]`
`= 4^(2) xx 1`
`rArr" "x^(2) + y^(2) = 4^(2)`
अर्थात यह वृत्त का समीकरण है, जिसकी त्रिज्या 4 मी है |
(ii) त्वरण सदिश, `a = (v^(2))/(R) (-R)`, जहाँ v कण का वेग है |
(iii) त्वरण सदिश का परिमाण, `a = (v^(2))/(R)`
(iv) हम जानते हैं कि
`v_(x) = +4 cos (2 pi t) 2 pi`
और `v_(y) = - 4 sin (2 pi t) 2pi`
कुल परिणामी वेग,
`v = sqrt(v_(x)^(2) + v_(y)^(2)) = sqrt((8 pi)^(2) (cos^(2) 2 pi t + sin^(2) 2pi t))`
`rArr" "v = 8 pi" "[because cos^(2) 2 pi t + sin^(2) 2 pi t = 1]`
अत: विकल्प (c) सही नहीं है |