Solve the equation `sqrt(|sin^(-1)| cos x|| + |cos^(-1)| sin x||) = sin^(-1)|cos x | -cos^(-1)| sin x|, (-pi)/(2) le x le (pi)/(2)`

Explanation

Given `sqrt(|sin^(-1)| cos x || + | cos^(-1)| sin x||) = sin^(-1) (|cos x|) - cos^(-1)|sin x|`
When `x in [0, (pi)/(2)], 0 le (pi)/(2) - x le (pi)/(2)`, we have
`sqrt(sin^(-1) sin ((pi)/(2) - x) + cos^(-1) cos((pi)/(2) - x)) = sin^(-1) (sin((pi)/(2) - x)) - cos^(-1) (cos ((pi)/(2) - x))`
or `sqrt(2 ((pi)/(2) -- x)) = (pi)/(2) - x - (pi)/(2) + x`
or `x = (pi)/(2)`
When `x in [-(pi)/(2), 0], (pi)/(2) le (pi)/(2) - x le pi`, we have
`sqrt(sin^(-1) (sin((pi)/(2) -x)) + cos^(-1) (- cos((pi)/(2) - x))) = sin^(-1) (sin((pi)/(2) - x)) - cos^(-1) (-cos ((pi)/(2) - x))`
`sqrt(pi - ((pi)/(2) - x) + pi - cos^(-1) (cos ((pi)/(2) - x))) `
`= pi - ((pi)/(2) - x) - pi + cos^(-1) (cos ((pi)/(2) - x))`
`rArr sqrt((pi)/(2) + x + pi - ((pi)/(2) - x)) = (pi)/(2) + x - pi + (pi)/(2) - x`
`rArr sqrt(pi + 2x) = 0`
`x = -(pi)/(2)`