Evaluate: `(sin^3x dx)/((cos^4x+3cos^2x+1)tan^(-1)(secx+cosx)`

Explanation

`I=int(sin^(3)xdx)/((cos^(4)x+3cos^(2)x+1)tan^(-1)(secx+cosx))`
Put `tan^(-1)(secx+cosx)=t`
or `(1)/(1+(secx+cosx)^(2))(secxtanx-sinx)dx=dt`
or `(cos^(2)x)/(cos^(2)x+(1+cos^(2)x)^(2))sinx ((1)/(cos^(2)x)-1)dx=dt`
or `(cos^(2)xsinx((1-cos^(2)x))/(cos^(2)x))/(cos^(2)x+1+cos^(4)x+2cos^(2)x)dx=dt`
or `(sin^(3)x)/(cos^(4)x+3cos^(2)x+1)dx=dt`
` :. I=int(dt)/(t)=log|t|+c`
`=log|tan^(-1)(secx+cosx)|+c`