Evaluate: `int sqrt(1+cosecx dx)`

Options

A. `2sin^(-1)sqrt(sinx)+c`
B. `sqrt(2)cos^(-1)sqrt(cosx)+c`
C. `c-2sin^(-1)(1-2sinx)`
D. `cos^(-1)(1-2sinx)+c`

Answer

A, D

Explanation

`I=int(sqrt((1+sinx)(1-sinx)))/(sqrt(sinx(1-sinx)))dx`
`=int(cosx)/(sqrt(sinx(1-sinx)))dx`
`=int(cosx)/(sqrt((1)/(4)-((1)/(2)-sinx)^(2)))dx `
`=int(-dt)/(sqrt(((1)/(2))^(2)-t^(2))) " " ("Putting " (1)/(2)-sinx=t)`
`=-sin^(-1)((t)/(1//2))+C`
`=-sin^(-1)(1-2sinx)+C`
`=cos^(-1)(1-2sinx)+C-(pi)/(2) `
`=cos^(-1)(1-2sinx)+C`
`=cos^(-1)(1-2(sqrt(sinx))^(2))+C`
`=cos^(-1)(1-2sin^(2)t)+C " " ("Putting " sqrt(sinx)=sint)`
`=cos^(-1)(cos2t)+C`
`=2t+C " " [:' sqrt(sinx)gt0 implies sint gt0 impliest in(0(pi)/(2))]`
`=2sin^(-1)(sqrt(sinx))+C`