R त्रिज्यावाली वृत्त के रूप में मुदा एक पतला तार अपने ऊर्ध्वाधर व्यास (vertical diameter) के परितः कोणीय आवृत्ति `omega` से घूर्णन करता है (चित्र 1.6 - 8 ) सिद्ध करे कि यदि `omega lt sqrt(g// R)` तो इस तार में पिरोया हुआ कोई मोती अपने निम्नतम बिंदु A पर ही होगा। यदि `omega = sqrt((2 g)/(R))` तो मोती को केंद्र O मिलानेवाली त्रैज्य रेखा OB ऊर्ध्वाधर से कितना कोण बनाएगी ? (घर्षण उपेक्षणीय माने)

Explanation

मान लिया किकोणीय आवृत्ति `omega` के किसी मान के लिए मोती को केंद्र O से मिलनेवाले त्रिज्या OB ऊर्ध्वाधर के साथ `theta` कोण बनाती है (चित्र 1.6 - 9 ) + मोती पर लगनेवाले केवल दो बल होंगे (i) मोती का भार mg तथा (ii) तार द्वारा मोती पर अभिलंब प्रतिक्रिया N
अब N को ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज दिशाओ को विघटित करने पर क्षैतिज घटक `N sin theta` आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करेगा तथा ऊर्ध्वाधर घटक `N cos theta` से मोती का भार (mg) संतुलित होगा।
`:. N sin theta = m omega^(2) r = m omega^(2) R sin theta`
या `N = m omega^(2) R" "` . . . (1) फिर `N cos theta = mg`
`m omega ^(2) R cos theta = mg` [समीकरण (1) से ]
या `cos theta = (g)/(omega^(2) R)`
अब चूँकि `|cos theta| le 1 ` अतः `(g)/(omega^(2) R) le 1 ` या `(omega^(2) R)/(g) ge 1 `
या `omega ge sqrt((g)/(R)) ` या `omega_("min") = sqrt((g)/(R))`
अतः `omega ` का मान इस न्यूनतम मान `(sqrt((g)/(R)))` से कम होने पर मोती अपने न्यूनतम बिंदु A पर ही रहेगा।
यदि `omega = sqrt((2g)/(R)` तब `cos theta = (g)/(omega^(2) R) = (g)/(2g) = (1)/(2) :. theta = 60^(@)`