समान द्रव्यमान m के दो कण दो समांतर रेखाओ (parallel lines) के अनुरेख विपरीत दिशाओ में समान चाल v से गतिशील है (चित्र1.8 -1 )। यदि समांतर रेखाओ की बीच की लंबिक दुरी d हो तो सिद्ध करे कि ऐसे द्वि - कण निकाय (two- particle system) का कोणीय संवेग - सदिश किसी भी स्वेच्छ बिंदु (arbirary point) के परितः समानं होता है।

Explanation

चित्र 1 . 8 - 1 में समांतर रेखाओ पर कण A तथा B की तात्क्षणिक स्थिति दिखाई गई है किसी स्वच्छ बिंदु O के सापेक्ष कण A का स्थिति सदिश `vec(r)_(A) = vec(OA)` तथा कण B का स्थिति सदिश `vec(r) _(B) = vec(OB)`
अब A का बिंदु O के परितः कोणीय संवेग
`vec(L)_(A) = vec(r)_(A) xx vec(P_(A))`
`= vec(r)_(A) xx m vec(v)_(A) = m vec(r)_(A) xx vec(v)_(A) = mr _(A) v_(A) sin theta _(A) * hat(n)`
जहाँ `hat(n)` = पृष्ठ के तल के लंबवत नीचे की ओर एकांक सदिश।
इसी प्रकार B का O के परितः कोणीय संवेग
`vec(L)_(B) = vec(r)_(B) xx vec(p)_(B) xx m vec(v)_(B) = mr _(B) v_(B) sin theta _(B) hat(n)`
जहाँ `hat(n) = ` पृष्ठ के तल के लंबवत निचे की ओर एकांक सदिश है। चूँकि दोनों कोणीय संवेग की दिशाएँ समान तथा `v_(A) = v_(B) = v`
अतः उनका परिणामी मान
`vec(L) = vec(L)_(A) + vec(L)_(B) = mv (r_(A) sin theta_(A) + r_(B) sin theta_(B))hat(n)`
`= m v [r_(A) sin (180^(@) - theta_(A)) + r_(B) sin theta_(B)] hat(n)`
`= mv [OC + OD] hat(n) = mv * CD * hat(n) = mvd hat(n)`
अतः `vec(L)` का मान परिमाण एवं दिशा में बिंदु O की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। प्रमाणित।