बृहस्पति के एक उपग्रह आयो (Io) की कक्षीय अवश्य (orbital period) 1.769 दिन तथा कक्षा की त्रिज्या `4.22 xx 10^(8) m ` है। सिद्ध करे कि बृहस्पति का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान का लगभग गुना है। 1/1000

Explanation

ग्रह या उपग्रह की वृत्तीय गति के लिए
`(mv^(2)) /(r) = (G M m)/( r^(2))`
या `M = (v^(2) * r)/( G) = (4 pi^(2) r^(3))/( G T^(2))`
बृहस्पति के लिए , इसका द्रव्यमान
`M_(j) = (4 pi ^(2) r_(1)^(3))/( G T_(1)^(2))`
इसी प्रकार पृथ्वी की कक्षीय गति के लिए सूर्य का द्रव्यमान
`M_(s) = (4 pi^(2) r_(2)^(3))/(G T_(2)^(2))`
`:. (M_(j))/(M_(s)) = ((r_(1))/(r_(2)))^(3) xx (T_(2)^(2))/(T_(1)^(2))`
प्रश्न से `r_(1) = ` आयो की कक्षीय त्रिज्या `= 4 . 22 xx 10^(8) m` `r_(2) = 1 AU = 1.496 xx 10^(11) m`
`T_(1) = 1.769` दिन
`T_(2) = 365 . 25` दिन
`(M_(j))/(M_(s)) = ((4 . 22 xx 10^(8))/(1.496 xx 10^(11)))^(3) xx ((365.25)/(1.769))^(2)`
`= 22.45 xx 10^(-9) xx 4.26 xx 10^(4)`
`= 95 .64 xx 10^(-5) = 100 xx 10^(-5) = (1)/(1000)`
`:.` बृहस्पति का द्रव्यमान `= (1)/(1000) xx` सूर्य का द्रव्यमान प्रमाणित