पृथ्वी की सतह से पलायन चाल (escape speed) का मान `11 . 2 km s^(-1)` है। यदि किसी वस्तु को इस चाल की तीन गुनी चाल से प्रक्षेपित किया जाए तो पृथ्वी के गुरुत्वीय क्षेत्र से बाहर अंतरिक्ष में वस्तु की चाल क्या होगी ? (सूर्य एवं अन्य ग्रहो के गुरुत्वीय प्रभाव को नगण्य मान ले )

Explanation

किसी वस्तु को पलायन चाल`v_(e)` से किसी भी दिशा में प्रेक्षपित करने पर वह वस्तु पृथ्वी के गुरुत्वीय क्षेत्र से मात्र बाहर जाकर विराम में आ जाती है और उनकी गतिज ऊर्जा पूर्णतः स्थितिज ऊर्जा में बदल जाती है। स्पष्टतः प्रक्षेप चाल यदि पलायन चाल से अधिक हो `(v gt v_(e))` तो कुल गतिज ऊर्जा `((1)/(2) mv^(2))` में से `(1)/(2) mv_(e)^(2)` हिस्सा मात्र पलायन के लिए खर्च होता है , और शेष भाग वस्तु में गतिज ऊर्जा के रूप में निहित रहता है
अतः `(1)/(2) mv^(2) = (1)/(2) mv_(e)^(2) + (1)/(2) mv_(1)^(2)" "`. . . (1)
जहाँ v = प्रारंभिक प्रक्षेप चाल `= 3 v_(e)` तथा `v_(1)` अंतरिक्ष में चाल
`:.` समीकरण (1) से
`(1)/(2) m (3 v_(e)) ^(2) = (1)/(2) mv_(e)^(2) + (1)/(2) mv_(1)^(2)`
या `v_(1)^(2) = 9 v_(e)^(2) - v_(e)^(2) = 8v_(e)^(2)`
`:.` अभीष्ट चाल `v_(1) = sqrt(8 v_(e)^(2)) = 2 sqrt(2) v_(e)`
` = 2 xx 1.414 xx 1.2 km s^(-1) = 31.7 km s^(-1)`
[विकल्पतः ऊर्जा - संरक्षण के सिद्धांत से]
`(KE + PE)_(" सतह पर ") = (KE + PE)_(" अनंत पर ")`
या ` (1)/(2) m (3 v_(e))^(2) - (GM m)/(R) = (1)/(2) mv_(1)^(2) + 0`
या `v_(1) = 9v_(e)^(2) - v_(e)^(2) = 8 v_(e)^(2)" "` (`:. v_(e)^(2) - 2GM//R`]