कोई कृत्रिम उपग्रह (artificial satellite) पृथ्वी के चारो ओर वृत्तीय कक्षा में चक्कर लगा रहा है। यदि उपग्रह का द्रव्यमान 200 kg तथा पृथ्वी की सतह से इसकी ऊँचाई 400 km हो, तो बताएँ कि इस उपग्रह को पृथ्वी के गुरुत्वीय क्षेत्र से मात्र बाहर निकालने के लिए कितनी ऊर्जा कि आवश्यकता होगी ? (पृथ्वी का द्रव्यमान `= 6 xx 10^(24) kg` पृथ्वी की माध्य - त्रिज्या = 6400 km तथा `G = 6.67 xx 10^(11) SI` मात्रक )

Explanation

किसी ग्रह का परिक्रमण करनेवाला उपग्रह बद्ध अवस्था (bound state) में होता है जिसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज ) ऋणात्मक होती है इसी कुल यांत्रिक ऊर्जा का धनात्मक मान उपग्रह को देने पर वह उपग्रह पाने ग्रह से मुक्त हो जाता है , अर्थात उसके गुरुत्वीय क्षेत्र से बाहर चला जाता है।
अब, उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा
`E = (1)/(2) mv^(2) + (- (G M m)/( r)) = (1)/(2) (G Mm)/( r) - (G M m)/( r)" "` [`:. (mv^(2))/(r) = (G M m)/(r^(2))` ]
`= - (G M m)/( 2 r) = - (G M m)/( 2(R + h))" "` . . . (1)
यहाँ M = पृथ्वी का द्रव्यमान `= 6 xx 10^(24) kg`
m = उपग्रह का द्रव्यमान = 200 kg
R = पृथ्वी की माध्य - त्रिज्या `= 6400 km = 64 xx 10^(6)` m
h = पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई `= 400 km = 4 xx 10^(5) m`
समीकरण (1) में मान रखने पर अभीष्ट आवश्यक ऊर्जा
` E = (G M m)/( 2 (R + h)) = (6 . 67 xx 10^(-11) xx 6 xx 10^(24) xx 200)/( 2 (6.4 xx 10^(6) + 0.4 xx 10^(6))) J = 5 . 9 xx 10^(9) J`