किसी रॉकेट को मंगल ग्रह की सतह से `2 km s^(-1)` की चाल से ऊर्ध्वाधरतः प्रक्षेपित किया जाता है। यदि मंगल के वातावरणीय प्रतिरोध (atmospheric resistance) के कारण ऊर्जा ह्यस प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का `20%` हो, तो मगल की सतह पर वापस लौटने से पूर्व यह रॉकेट मगल की सतह से कितनी महत्तम दुरी तक जाएगा ? (मंगल का द्रव्यमान `= 6 . 4 xx 10^(23)kg` , मंगल की त्रिज्या = 3395 km तथा `G = 6.67 xx 10^(-11)N m^(2) kg^(-2)` )

Explanation

मान लिया कि m = रॉकेट का द्रव्यमान
M = मंगल का द्रव्यमान
R = मंगल कि त्रिज्या = 3395 km
v = रॉकेट कि प्रक्षेपण चाल,
h = मंगल की सतह से महत्तम ऊँचाई
`:.` रॉकेट की प्रारंभिक जतिज ऊर्जा `= (1)/(2) mv^(2) ` तथा स्थितिज ऊर्जा `= - (G M m)/(R)`
रॉकेट का प्रतिरोध के कारण ऊर्जा क्षय `= (20)/(100) xx (1)/(2) mv^(2) = (1)/(10) mv^(2)`
ऊर्जा - संरक्षण के सिद्धांत से
कुल प्रारंभिक ऊर्जा = ऊर्जा क्षय + शेष ऊर्जा
अतः `(1)/(20 mv^(2)) + (-(GM m)/( R)) = (1)/(10) mv^(2) + (- (G M m)/(R + h))`
`G M m ((1)/(R ) - (1)/(R + h)) = mv^(2) ((1)/(2) - (1)/(10)) = (2)/(5) mv^(2))`
या `(h)/(R(h + R)) = (2 v^(2))/( 5 GM)`
या `(h + R)/( h) = (5 GM0/9 2 R v^(2))`
या `(R)/(h) = (5 GM )/(2 R v^(2)) - 1 = (5 G M - 2 R v^(2))/(2 R v^(2))`
`:.` अभीष्ट ऊँचाई `h = (2 R ^(2) v^(2))/( 5 GM - 2 R v^(2)) = (0.4 R^(2) v^(2))/( GM - 0.4 R v^(2))`
`= (0 . 4 xx (3395 xx 10^(3))^(2) xx (2 xx 10^(3))^(2))/(6 . 67 xx 10^(-11) xx 6 . 4 xx 10^(23) - 0.4 xx (3395 xx 10^(3)) xx (2 xx 10^(3))^(2))`
`= (18 . 44 xx 10^(18))/( 42 . 688 xx 10^(12)- 5 . 432 xx 10^(12)) = 0.495 xx 10^(6) m = 495 km`