नरम इस्पात के एक तार, जिसकी लंबाई 1 m तथा काट का क्षेत्रफल `0 . 50 xx 10^(2) cm^(2)` है, को दो खंभो के बीच क्षैतिज दिशा में प्रत्यास्थ सीमा (elastic limit) के अंदर तनित (stretch) किया जाता है। तार के मध्यबिंदु से 100 g का एक द्रव्यमान लटका किया जाता है। मध्यबिंदु पर अवनमन (depression) की गणना करे (इस्पात के लिए `Y = 2 xx 10^(11) N m^(-2)` और तार की लंबाई की तुलना में अवनमन को नगण्य माने)

Explanation

दिया गया है कि
तार XX. की लंबाई = 2 l = 1 m
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल `= a = 0. 50 xx 10^(-2) cm^(2) = 0.50 xx 10^(-6) m^(2)`
द्रव्यमान m = 100 g = 0.100 kg
`Y = 2 xx 10^(11) N m^(-2)`

माना कि तार के मध्यबिंदु O पर अवनमन है और तार के भाग PX एवं PX. में तनाव का परिमाण T है
तार की लंबाई में वृद्धि
`Delta l = (XP +PX.) = X x. = 2PX - X X .` `= 2 l {(1 + (1)/(2) (y^(2))/(l^(2)))- 1 }` [`:.` जब `x lt lt 1, (1 + x)^(n)~~ 1 + n x` ]
अतः विकृति
`= (" तार की लंबाई में वृद्धि ")/(" तार की आरंभिक लंबाई ") = (delta l)/(2l) = (y^(2))/(l 2 l) = (Y^(2))/(2 l^(2))" "` . . . (1)
चित्र से साम्य (equilibrium ) के लिए
`T sin theta + T sin theta = mg`
या `2 T sin theta = mg`
या `T = (mg)/( 2 sin theta) ~~ (mg)/( 2 tan theta) " "` [`:.` जब `theta` छोटा हो, तो `sin theta ~~ theta = tan theta` ]
या `T = (mg)/(2 ((y)/(l)))= (m g l)/( 2y)" "` . . . (2)
अतः प्रतिबल `= (T)/(A) = (mgl)/( 2yA)`
और `Y = (" प्रतिबल ")/(" विकृति ") = ((mgl)/(2yA))/((y^(2))/(2l^(2))) = (mgl^(3))/(Ay^(3))`
`:. y = 1 ((mg)/(AY))^(1//3)`
`= (0.5 m) ((0.1 kg xx 9 . 8 m s^(-2))/( 0 . 5 xx 10^(-6) m^(2) xx 2xx 10^(11) N m^(-2)))^(1//3)`
`= (0.5 m) 10^(-2) (9. 8 )^(1//3)`
`= (0.5 xx 2 . 14) xx 10^(-2) m `
`= 1. 0 7 xx 10^(-2) m `
= 1.07 cm
अतः तार के मध्यबिंदु पर अवनमन का मान 1.07 cm होगा।