L लम्बाई वाले एक असमान छड़ (Non - uniform rod ) के रेखीय घनत्व के विचरण का सम्बन्ध `rho =A + Bx ` जैसा है
जहाँ x = छड़ के एक छोर की दुरी तथा A और b नियतांक है। द्रव्यमान केंद्र की स्थिति ज्ञात करें।

Explanation

छड़ PQ के एक सिरे P से x दुरी पर अत्यंत अलप अंश dx पर विचार किया जाता है।
इस अंश का द्रव्यमान
` = dm = rho dx = (A+ Bx) dx`
तब सम्पूर्ण छड़ का कुल द्रव्यमान
` M = underset(0) overset(1) int dm = underset(0)overset(L) int (A+Bx) dx `
` = underset(0)overset(L) int (Ax+ (Bx^(2))/(2))`
` = AL + (BL^(2))/(2)`
छड़ के द्रव्यमान केंद्र की दुरी P बिंदु से
` " " X = (1)/(M) int dmx = (1)/(M) underset(0) overset(1) int (rhodx ) x `
M तथा `rho ` का मान रखने पर,
` X = (1)/(AL +(BL^(2))/(2)) underset(0)overset(1)int (A+ Bx) xdx)`
`= ( 1)/(AL+(BL^(2))/(2)) xx ((AL^(2))/(2) + (BL^(3))/(3))`
` = (3AL +2BL^(2))/(3(2A+BL))`
अतः द्रव्यमान केंद्र की स्थिति छड़ के एक किनारे `(rho ` बिंदु से) `(3AL+2BL^(2))/(3(2A+BL))` की दुरी पर होगी।