अगर पृथ्वी को समान गोल (Homogeneous sphere) माना जाय और उसके केन्द्र से होकर एक छेद (Hole) खोदा जाय तब दिखावें कि इस छेद में गिराये गये पिण्ड की गति सरल आवर्त है । इस गति का आवर्तकाल ज्ञात करें।
(पृथ्वी की त्रिजया, `R= 6.4 xx 10^(6)` मी, g=9.8 `"मी/से"^(2)`)

Explanation

किसी पिण्ड को पृथ्वी अपने केन्द्र की ओर जिस बल से खींचती है वह उस पिण्ड का भार होता है ।
यानी `(GMm)/R^(2) =mg`
जहाँ M = पृथ्वी का द्रव्यमान, m = पिण्ड का द्रव्यमान, RE पृथ्वी की त्रिज्या, G = "गुरुत्वाकर्षण का नियतांक
`therefore g =(GM)/R^(2)`
पृथ्वी समान गोल है। अगर उसका घनत्व p हो, तो
`M =4/3 piR^(2)D`
`therefore g=4/3piR^(2)D=4/3 piGDR`.....(i)
माना कि पृथ्वी के पृष्ठ से गहराई परं गुरुत्वीयं त्वरण का मान . है, तब
`g.=4/3piGD(R-x)`......(ii)
[समीकरण (i) की मदद से लिखने पर] समीकरण (ii) में (i) से भाग देने पर,
`g^(.)/g =(R-x)/R`
`therefore g.=g/R(R-x)`...(iii)

अतः पृथ्वी के केन्द्र से (R-x) दूरी पर (चित्र-10.19) पिण्ड पर क्रियाशील त्वरण पृथ्वी के केन्द्र की ओर (गुरुत्वीय त्वरण) = `g/R(R-x)`, चूँकि , नियत राशि है इसलिये यह त्वरण (R-X) का अनुक्रमानुपाती होता है । (R-X) केन्द्र से पिण्ड का विस्थापन है । अतः त्वरण विस्थापन का अनुक्रमानुपाती है । इसलिये पिण्ड की गति सरल आवर्त है । इस गति में नियतांक `omega^(2)` के बराबर होता है।
`therefore omega^(2)=g/R, therefore omega =(2pi)/T = sqrt(g/R)`
`therefore T=2pi sqrt(R/g) = 2 xx 3.14 sqrt((6.14 xx 10^(6))/9.8)`
`=5075.8` = 84.6 m