एक गतिशील मोटरबोट द्वारा अनुभव किया गया मंदन, इसके इंजन के बंद हो जाने के बाद `(dv)/(dt) = - kv^3`, के अनुसार दिया जाता है, जहां k एक स्थिरांक है। यदि बंद होते समय पर वेग का परिमाण `v_0` है, तब बंद होने के बाद t समय पर वेग का परिमाण है:

Options

A. `v_0`
B. `(v_0)/(2)`
C. `v_0 e^(-kt)`
D. `(v_0)/(sqrt(2v_0^2 kt + 1))`

Answer

D

Explanation

`(dv)/(dt) = - k v^3`
`implies -int_(v_0)^(0) (dv)/(kv^3) = int_0^t dt`
`implies 1/k int_(v_0)^(v) - v^3 - dv = t` या `-1/k |(v^(-3 + 1))/(-3 + 1)|_(v_0)^(v) = t` या `1/(2k) [1/(v^2) - 1/(v_0^2)] = t` या `1/(v^2) - 1/(v_0^2) = 2kt`
या `1/(v^2) = 1/(v_0^2) + 2kt` या `1/(v_2) = (1 + 2 v_0^2 kt)/(v_0^2)`
या `v = (v_0)/(sqrt(2v_0^2 kt + 1))`