माना `f: [-pi/2,pi/2]` एक सतत फलन है जबकि `f(0) = 1` तथा `int_0^(pi/3)f(t)dt=0`
तब निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सही है/हैं?

Options

A. `(0,pi/3)` समीकरण `f(x)-3 cos3x= 0` का कम से कम एक हल है
B. `(0,pi/3)` में समीकरण `f(x)-3sin3x= -6/pi` का कम से कम एक हल है
C. `lim_(x rarr0)(x int_0^xf(t)dt)/(1-e^(x^2))=-1`
D. `lim_(x rarr0)(sinx int_0^xf(t)dt)/(x^2)=-1`

Answer

A, B, C

Explanation

`f(0) -1 . int_0^(pi/3) f(t)dt=0`
(A) एक फलन `g(x) =int_0^(x) f(t)dt- sin3x` पर विचार कीजिए
g(x) सतत एवं अवकलनीय फलन है
और g(0) = 0
`g(pi/3)=0`
रोल की प्रमेय द्वारा `(0,pi/3)` में g(x) = 0 का कम से कम एक हल है
किन्हीं `x in (0,pi/3)` के लिए `f(x)-3cos3x = 0 `
(B) फलन
`h(x) = int_0^(x) f(t) dt + cos 3x +6/pix`
पर विचार कीजिए
h(x) सतत एवं अवकलनीय फलन है
तथा (0) = 1
`h(pi/3)=1`
रोले की प्रमेय द्वारा, कम से कम एक `x in(0,pi/3)` के लिए h.(x) = 0 है
किन्हीं `xin(0,pi/3)` के लिए `f(x) - 3sin3x +6/pi=0`
(C) `lim_(xrarr0)(x int_0^xf(t)dt)/(1-e^2),` ( `0/0` रूप )
L. हॉस्पीटल नियम द्वारा
`(f(x)+int_0^xf(t)dt)/(-2xe^(x^2)),` ( `0/0` रूप )
`=lim_(xrarr0)(xf.(x)+f(x)+f(x))/(-4x^2e^(x^2)-2e^(x^2))=(0+2f(0))/(-0-2)=-1`
(D) `lim_(xrarr0)(sinx+int_0^xf(t)dt)/(x^2),` ( `0/0` रूप )
`=lim_(xrarr0)(sinx.f(x)+cosx int _0^xf(t)dt)/(2x)`
`=lim_(xrarr0)((cosx.f(x)+sinxf.(x)+cosx.f(x)-sinx.int_0^xf(t)dt))/2`
`= (1+0+1-0)/2`
= 1