माना `M = {(x, y) Rxx R: x^2 + y^2 lt r^2)`, जहाँ `rgt 0` है। गुणोत्तर श्रेणी `a_n = 1/(2^(n-1)), n = 1, 2, 3,` .... पर विचार कीजिए। माना S = 0 तथा `nge 1` के लिए, माना `S_n` इस श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल को निरूपित करता है। `n ge1` के लिए माना `C_n` उस वृत्त को निरूपित करता है जिसका केंद्र `(S_(n-1),0)` है तथा त्रिज्या `a_n` है तथा `D_n` उस वृत्त को निरूपित करता है जिसका केंद्र `(S_(n-1),S_(n-1))` तथा त्रिज्या `a_n` है।
M पर विचार कीजिए जहाँ `r = 1025/513` है। माना k उन सभी वृत्तों `C_n` की संख्या है जो M के अंदर स्थित हैं। माना l इन k वृत्तों में से उन वृत्तों की अधिकतम संभावित संख्या है जिसमें कोई दो वृत्त प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। तब

Options

A. `k+2l = 22`
B. `2k+ l= 26`
C. `2k+ 3l= 34`
D. `3k+ 2l = 40`

Answer

D

Explanation

`:. a_n =1/(2^(n-1))` तथा `S_n =2 (1-1/2^n)`
वृत्तों `C_n` का M में अंतःस्थित होने के लिए
`S_(n-1)+a_nlt(1025)/(513)`
`implies S_nlt(1025)/(513)`
`implies 1-1/(2^n)lt1025/1026 =1-1/1026`
`implies 2^nlt 1026`
`implies n le 10`
`:.` अंतः स्थित वृत्तों की संख्या 10 = K होगी
स्पष्टतः एकान्तर वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं अर्थात् `C_1, C_3, C_5,C_7,C_9` एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं इसके साथ ही `C_2,C_4,C_6, C_8` व `C_(10)` भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं अतः वृत्तों के अधिकतम 5 समुच्चय एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
`:. l =5`
`:. 3k+ 2l = 40`
`:.` विकल्प D सही है।