किन्हीं वास्तविक संख्याओं `alpha` व `beta` के लिए, माना `y_(alpha,beta) (x), x in R`, अवकल समीकरण `(dy)/(dx) + alphay = xe^(betax),y(1) = 1 ` का हल है।

Options

A. `f(x) =x^2/2e^(-x)+(e-1/2)e^(-x)`
B. `f(x) =x^2/2e^(-x)+(e+1/2)e^(-x)`
C. `f(x) =e^2/2(x-1/2)+(e-e^2/4)e^(-x)`
D. `f(x) =e^x/2(1/2-x)+(e+e^2/4)e^(-x)`

Answer

A, C

Explanation

`(dy)/(dx) +alphay = xe^(betax)`
समाकलन गुणांक (I.F.) = `=e^(intalphadx)=e^(alphax)`
अतः हल है `y.e^(alphax)=intxe^(betax).e^(alphax)dx`
`ye^(alphax)=intxe^((alpha+beta)x)dx`
यदि `alpha + beta ne 0 `
`ye^(alphax)=x^(e(alpha+beta)x)/((alpha+beta))-(e(alpha+beta)x)/((alpha+beta)^2)+C`
`y=(xe^(betax))/((alpha+beta))-(xe^(betax))/((alpha+beta)^2)+Ce^(-alphax)`
`y=(e^(betax))/((alpha+beta))-(x-1/(alpha+beta))+Ce^(-alphax)" "...(i)`
समीकरण (i) में `alpha = beta = 1` रखने पर
`y =(e^x)/2 (x-1/2)+Ce^(-x)`
`y(1) = 1`
`1=e/2xx1/2 +C/2 implies C=e -e^2/4`
अतः,`y=e^x/2(x-1/2)+(e-e^2/4)e^(-x)`
यदि `alpha + beta = 0` तथा `alpha = 1`
`(dy)/(dx)+y=xe^(-x)`
समाकलन गुणांक = `e^x`
`ye^(x) = intxdx`
`ye^x=x^2/2+C`
`y=x^2/2e^(-x)+Ce^(-x)`
`y(1)=1`
`1=1/(2e)+C/eimpliesC=e-1/2`
`y=x^2/2e^(-x)+(e-1/2)e^(-x)`