माना O मूलबिंदु है तथा किसी `lamda gt 0` के लिए `vec(OA) = 2hati +2hatj+hatk, vec(OB)=hati-2hatj +2hatk` तथा `vec(OC) =1/2 (vec(OB)-lamda(vec(OA))` | यदि `|vec(OB) xxvec(OC)| =9/2` नम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सही है/हैं?

Options

A. `vec(OC)` का `vec(OA)` पर प्रक्षेप `-3/2` है
B. त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल `9/2` है
C. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल `9/2` है
D. समान्तर चतुर्भुज जिसकी आसन्न भुजाएँ `vec(OA)` तथा `vec(OC)` है, के विकर्णों के मध्य न्यून कोण `pi/3` है

Answer

A, B, C

Explanation

`vec(OA) = 2hati +2hatj+hatk`,
`vec(OB)=hati-2hatj +2hatk`
`vec(OC) =1/2(vec(OB)- lamdavec(OA))`
`vec(OB) xxvec(OC) = vec(OB)xx1/2 (vec(OB)-lamdavec(OA))=-lamda/2vec(OB)xxvec(OA)=lamda/2 (vec(OA)xxvec(OB))`
अब `vec(OA)xxvec(OB)=|(hati,hatj,hatk),(2,2,1),(1,-2,2)|=6hati-3hatj-6hatk`
अब `vec(OB)xxvec(OC)=(3lamda)/2(2hati-hatj-2hatk)`
अतः `|vec(OB)xxvec(OC)|=|(9lamda)/2|=9/2`
अतः `lamda=1 ( :. lamda=0)`
`vec(OC)=1/2(vec(OB)-vec(OA))`
`vec(OC)=1/2(-hati-4hatj+hatk)`
`vec(OC)` का `vec(OC)` पर प्रक्षेप `(vec(OC).vec(OA))/(|vec(OA)|)=(1/2(-2-8+1))/3=-3/2`
(B) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल `=1/2|vec(OA) xx vec(OB)|=9/2`
(C) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल , है `=1/2|vec(AB)xxvec(AC)| =1/2||(hati,hatj,hatk),(-1,-4,1),(-5/2,-4,-1/2)||=1/2|6hati-3hatj-6hatk|=9/2`
(D) समान्तर चतुर्भुज जिसकी आसन्न भुजाएँ `vec(OA)` तथा `vec(OC)` है, के विकर्णों के मध्य न्यून कोण `= theta`
`((vec(OA)+vec(OC)).(vec(OA)-vec(OC)))/(|vec(OA)+vec(OC)||vec(OA)-vec(OC)|)= cos theta`
`cos theta= ((3/2hatj+3/2hatk)(5/2hati+4hatj+1/2hatk))/(3/2sqrt2xxsqrt((90)/4))=18/(3sqrt2sqrt90)`
`theta ne pi/3`