माना `M = {(x, y) Rxx R: x^2 + y^2 lt r^2)`, जहाँ `rgt 0` है। गुणोत्तर श्रेणी `a_n = 1/(2^(n-1)), n = 1, 2, 3,` .... पर विचार कीजिए। माना S = 0 तथा `nge 1` के लिए, माना `S_n` इस श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल को निरूपित करता है। `n ge1` के लिए माना `C_n` उस वृत्त को निरूपित करता है जिसका केंद्र `(S_(n-1),0)` है तथा त्रिज्या `a_n` है तथा `D_n` उस वृत्त को निरूपित करता है जिसका केंद्र `(S_(n-1),S_(n-1))` तथा त्रिज्या `a_n` है।
M पर विचार कीजिए, जहाँ `r=((2^(199)-1)sqrt2)/2^(198)` ,तब उन सभी वृत्तों की संख्या `D_n` कौनसी है जो M के अंदर स्थित हैं?

Options

A. 198
B. 199
C. 200
D. 201

Answer

B

Explanation

`:. r=((2^(199)-1)sqrt2)/(2^(198))`
अब `sqrt2S_(n-1)+a_(n)lt((2^(199-1))/(2^(198)))sqrt2`
`2sqrt2(1-1/(2^(n-1)))+1/(2^(n-1))lt((2^(199)-1)/(2^(198)))`
`:. 2sqrt2-sqrt2/(2^(n-2))+1/(2^(n-1))lt2sqrt2-sqrt2/(2^(918))`
`(2sqrt2-1)/(2.2^(n-2))gtsqrt2/2^(918)`
`2^(n-2)lt(2-1/sqrt2)2^(197)`
`:. n le199`
`:.n le 199`
`:.` वृत्तों की संख्या = 199
विकल्प (B) सही है।