माना ,`Psi_(1) [0,oo) rarr RR ,Psi_(2) [0,oo) rarrRR, f : [0,oo)rarrR` तथा `g: [0,oo) rarrR` फलन है जो इस प्रकार हैं कि f(0) = g(0) = 0
`Psi_1(x) =e^(-x)+x,xge0`
`Psi_2(x) =x^(2)-2x-2e^(-x)+2,xge0`
`f(x) = int_(-x)^(x) (|t|-t^2)e^(-t^2)dt,xgt0`
तथा `g(x) = int_0^(x^2) sqrtt e^(-t) dt , x gt 0`
निम्न में से कौनसा कथन सत्य है?

Options

A. `f(sqrt(In 3)) +g(sqrt(ln3))=1/3`
B. प्रत्येक `xgt1` के लिए, एक `alpha in (1,x)` इस प्रकार विद्यमान है कि `Psi_(1)(x) = 1 + alphax`
C. प्रत्येक `xgt 0` के लिए एक `B in (0, x)` इस प्रकार विद्यमान है कि `Psi_(2)(x) = 2x (Psi_(1)(beta)-1)`
D. अन्तराल `[0,3/2]` में f एक वर्धमान फलन है

Answer

C

Explanation

`g(x) = int_0^(x^2)sqrtt e^(-t) dt, xgt 0`
माना `t = u^2 implies dt = 2u du`
`:. g(x) = int_0^(x) u e^(-u^2). 2u du`
`=2int_0^xt^2e^(-t^2)dt" "...(i)`
तथा `f(x) = int_(-x)^(x) (|t|-t^2)e^(-t^2)dt,xgt0`
`:. f(x) =2int_(0)^(x)(t-t^2)e^(-t^2)dt" "...(ii)`
समीकरण (i) + (ii) से : `f(x) + g(x) = int_(0)^(x) 2te^(-t^2) dt `
माना `t^2 = P implies 2t dt = dP`
`:.f(x) +g(x)=int_0^(x^2)e^(-P)dP=[-e^(-P)]_0^(x^2)`
`:. f(x) + g(x) = 1-e^(-x^2) " " ... (iii)`
`:.f(sqrtln3)+g(sqrtln3)=1-e^(-ln3)=1-1/3=2/3`
`:.` विकल्प (A) गलत है।
समीकरण (ii) से : `f.(x) = 2(x-x^2)e^(-x^2) = 2x(1-x)e^(-x^2)`
`:.` (0, 1) में f(x) वर्धमान है।
`:.` विकल्प (D) गलत है।
`:. Psi_(1) =e^(-x)+x`
`implies Psi_(1)(x) = 1-e^(-x) < 1,x>1` के लिए
तब `a in (1, x)` के लिए, `Psi_(1)(x) = 1+alphax, alpha > 1` के लिए सही नहीं है।
`:.` विकल्प (B) गलत है।
अब `Pis_(2)(x) = x^2 -2x-2e^(-x) +2`
`implies Psi._(2) (x) = 2x-2+2e^(-x)`
`:. Psi_(2)(x)) = 2Psi_(1) (x) -2`
लाग्रांज मध्य मान प्रमेय से,
`(Psi_2(x)-Psi_(2)(0))/(x-0)=Psi_(2)(beta),betain(oo,x)` के लिए
`implies Psi_(2) (x) = 2x(Psi_(1)(beta)-1)`
`:.` विकल्प (C) सही है।