माना ,`Psi_(1) [0,oo) rarr RR ,Psi_(2) [0,oo) rarrRR, f : [0,oo)` तथा `g: [0,oo) rarrR` फलन है जो इस प्रकार हैं कि f(0) = g(0) = 0
`Psi_1(x) =e^(-x)+x,xge0`
`Psi_2(x) =x^(2)-2x-2e^(-x)+2,xge0`
`f(x) = int_(-x)^(x) (|t|-t^2)e^(-t^2)dt,xgt0`
तथा `g(x) = int_0^(x^2) sqrtt e^(-t) dt , x gt 0`
निम्न में से कौनसा कथन सत्य है

Options

A. `Psi_(1)(x) le 1` सभी `x gt 0` के लिए
B. `Psi_(2)(x) le 0` सभी `x gt 0` के लिए
C. `f(x) ge 1 -e^(-x^2) -2/3 x^3 +2/5 x^5` सभी `x in(0,1/2)` के लिए
D. `g(x) le 2/3 x^3 -2/5 x^5 +1/7 x^7` सभी `x in (0,1/2)` के लिए

Answer

D

Explanation

`Psi_1(x)=e^(-x)+x`
तथा सभी `xgt 0` के लिए, `Psi_(1) (x) gt 1`
`:.` (A) सही नहीं है।
`Psi_(1) (x) =x^2 +2 -2 (e^(-x) +x)gt0 , xgt0` के लिए
`:.` (B) सही नहीं है।
अब, `sqrtte^(-1)=sqrtt(1-t/(1!)+t^2/(2!)-t^3/(3!)+......oo)`
तथा `sqrtte^(-1)let^(1/2)-t^(3/2)+1/2t^(5/2)`
`:. int_0^(x^2)sqrtte^(-t)dtleint_0^(x^2)(t^(1/2)-t^(3/2)+1/2t^(5/2))dt`
`=2/3x^2-2/3x^5+1/7+1/7x^7`
`:.` विकल्प (D) सही है।
तथा `f(x) = int_(-x)^(x)(|t|-t^2)e^(-t^2)dt`
`=2int_0^x(t-t^2)e^(-t^2)dt`
`int_0^x2te^(-t2)dt-2int_0^xt^2 e^(-t^2)dt`
`:. f(x) le1-e^(-x^2)-2int_0^xt^2e^(-t^2)dt`
`:. f(x) lt1-e^(-x^2)-2int_0^xt^2(1-t^2)dt`
= सभी `x(0,1/2) ` के लिए `=1-e^(-x^2)-2(x^3)/3+2/5x^5`
`:.` विकल्प (C) गलत है।