निम्नलिखित के मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
(i) `"sin"^(-1)((sqrt(3))/2)`
(ii) `"cos"^(-1)(-1/2)`

(iii) `"cos"ec^(-1)(sqrt(2))`
(iv) `"sin"^(-1)(1/(sqrt(2)))`
(v) `cot^(-1)(-1/(sqrt(3)))`

Options

A. `(i) pi/3 (ii) (2pi)/3 (iii) pi/4 (iv) pi/4 (v) (2pi)/3`
B. `(i) pi/6 (ii) (2pi)/3 (iii) pi/4 (iv) pi/4 (v) (2pi)/3`
C. `(i) pi/3 (ii) (2pi)/3 (iii) pi/4 (iv) pi/3 (v) (2pi)/3`
D. `(i) pi/3 (ii) (2pi)/3 (iii) pi/6 (iv) pi/4 (v) (2pi)/3`

Answer

A

Explanation

(i) मान लीजिए `"sin"^(-1)((sqrt(3))/2)=x` तब
यहां x कोण `-(pi)/2` तथा `(pi)/2` के मध्य स्थित है अर्थात
`-(pi)/2lexle(pi)/2`
`"sin"x="sin"((pi)/3)`
`x=(pi)/3`
अतः `"sin"^(-1)((sqrt(3))/2)` का मुख्य मान `(pi)/3` है।
(ii) मान लीजिए `"cos"^(-1)(-1/2)=x`या `"cos"x=-1/2`
`:'0le"cos"^(-1)xlepi` अर्थात `0lexltpi`
जबकि `"cos"x` का मान ऋणात्मक है तब
`"cos"x=-1/2=-"cos"((pi)/3)="cos"(pi-(pi)/3)`
`x=pi-(pi)/3` या `(2pi)/3`
अतः `"cos"^(-1)(-1/2)` का मुख्य मान `(2pi)/3` है।
(iii) मान लीजिए`"cos"ec^(-1)(sqrt(2))` या `"cos"ecx=sqrt(2)`
`,’x` के लिए मान होंगे,
`0ltxlt(pi)/2`
अब `"cos"ecx=sqrt(2)="cos"ec(pi)/4`
`x=(pi)/4`
अतः `"cos"ec^(-1)(sqrt(2))` का मुख्य मान `(pi)/4` है।
(iv) मान लीजिए `"sin"^(-1)(1/(sqrt(2)))=x` तब
`"sin"x=1/2`
चूंकि `"sin"^(-1)` की मुख्य शाखा का परिसर `(-(pi)/2,(pi)/2)` होता है।
`:. "sin"x="sin"((pi)/4)`
`x=(pi)/4`
अतः `"sin"^(-1)(1/(sqrt(2)))` का मुख्य मान `(pi)/4` है।
(v) मान लीजिए `cot^(-1)(-1/(sqrt(3)))=x`, तब
`cotx=-1/(sqrt(3))`
चूंकि `cot^(-1)` की मुख्य शाखा का परिसर `(0,pi)` होता है।
`:. cotx=-1/(sqrt(3))=-cot((pi)/3)=cot(pi-(pi)/3)`
`cotx=cot((2pi)/3)`
`x=(2pi)/3`
अतः `cot^(-1)(-1/(sqrt(3)))` का मुख्य मान `(2pi)/3` है।