यदि `A=[{:(2,3),(1,-4):}],B=[{:(1,-2),(-1,3):}],` तो सत्यापित कीजिए कि `(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)` है।

Explanation

`AB=[{:(2,3),(1,-4):}]` तथा `B=[{:(1,-2),(-1,3):}]`
`AB=[{:(2,3),(1,-4):}][{:(1,-2),(-1,3):}]=[{:(2-3,-4+9),(1+4,-2-12):}]`
`=[{:(-1,5),(5,-14):}]`
`|AB|=14-25=-11ne0.`
AB के सह्गुणनखंड है:
`A_(11)=-14,A_(12)=-5,A_(21)=-5,A_(22)=-1`
माना AB के सह्गुणनखंडो से निर्मित आव्यूह X हो, तब
`X=[{:(-14,-5),(-5,-1):}]`
`adjAB=X` का परिवर्त, आव्यूह
`=[{:(-14,-5),(-5,-1):}]`
अब बाये पक्ष के लिए,
`(AB)^(-1)=(1)/(|AB|)adj AB`
`=-1/11[{:(-14,-5),(-5,-1):}]=1/11[{:(14,5),(5,1):}]`
`B=[{:(1,-2),(-1,3):}]`
`|B|=3-2=1`
B के सह्गुणनखंड है :
`B_(11)=3,B_(12)=1,B_(21)=2,B_(22)=1`
माना B के सह्गुणनखंडो से निर्मित आव्यूह य हो, तब
`Y=[{:(3,2),(1,1):}]`
`adjB=Y`का परिवर्त आव्यूह
`=[{:(3,2),(1,1):}]`
`becauseA=[{:(2,3),(1,-4):}]`
`thereforeA=-8-3=-11ne0.`
A के सह्गुणनखंड है :
`A_(11)=-4,A_(12)=-1,A_(21)=-3,A_(22)=2`
माना A के सह्गुणनखंडो से निर्मित आव्यूह Z हो, तब
`Z=[{:(-4,-1),(-3,2):}]`
`adjA=Z`का परिवर्त आव्यूह
`=[{:(-4,-3),(-1,2):}]`
अतः दाये पक्ष के लिए,
`B^(-1).A^(-1)=(1)/(|B|).adjB.(1)/(|A|).adjA`
`=1/2[{:(3,2),(1,1):}].(1)/(-11)[{:(-4,-3),(-1,2):}]`
`=-(1)/(11)[{:(3,2),(1,1):}][{:(-4,-3),(-1,2):}]`
`=-1/11[{:(-12-2,-9+4),(-4-1,-3+2):}]`
`=1/11[{:(-14,-5),(-5,1):}]`
`=-1/11[{:(-14,-5),(5,1):}]`
अतः बायाँ पक्ष=दायाँ पक्ष।