तीन संख्याओं का योग 6 है। यदि हम तीसरी संख्या को 3 से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ दे तो हमें 11 प्राप्त होता है। पहली और तीसरी को जोड़ने से हमें दूसरी संख्या का दुगना प्राप्त होता है। इसका बीजगणितीय निरूपण कीजिए और आव्यूह विधि से संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना ३३ तथा z क्रमशः पहली, दूसरी तथा तीसरी संख्याएँ हो, तब प्रश्नानुसार
`x+y+x=6." "…(i)`
`y+3z=11" "…(ii)`
`x+z=2y`
या `x-2y+z=0" "…(iii)`
अब इन तीनो समीकरणों को `AX=B` के रूप में लिखते है,
जहाँ `A=[{:(1,1,1),(0,1,3),(1,-2,1):}],X=[{:(x),(y),(z):}]`तथा `B=[{:(6),(11),(0):}]`
`|A|=1(1+6)-1(0-3)+(0-1)`
`=7+3-1=9ne0.`
अब हम आव्यूह A के सह्गुणनखण्ड प्राप्त करते है,
`A_(11)=|{:(1,3),(-2,1):}|=1+6=7," "A_(12)=-|{:(0,3),(1,1):}|=1(0-3)=3`
`A_(13)=|{:(0,1),(1,-2):}|=0-1=-1," "A_(21)=-|{:(1,1),(-2,1):}|=-1(1+2)=-3`
`A_(22)=|{:(1,1),(1,1):}|=1-1=0," "A_(23)=-|{:(1,1),(1,-2):}|=-(-2-1)=3`
`A_(31)=|{:(1,1),(1,3):}|=3-1=2," "A_(32)=-|{:(1,1),(0,3):}|=-(3-0)=-3`
`A_(33)=|{:(1,1),(0,1):}|=1-0=2.`
सह्गुणनखंडो से प्राप्त आव्यूह `[{:(7,3,-1),(-3,0,3),(2,-3,1):}]`
`adj A=[{:(7,-3,2),(3,0,-3),(-1,3,1):}]`
अब `A^(-1)=(1)/(|A|)adjA=1/9[{:(7,-3,2),(3,0,-3),(-1,3,1):}]`
जब `AX=B`
तब `X=A^(-1).B`
`[{:(x),(y),(z):}]=1/9[{:(1,-3,2),(3,0,-3),(-1,3,1):}][{:(6),(11),(0):}]`
`=1/9[{:(42-33+0),(18+0-0),(-6+33+0):}]=1/9[{:(9),(18),(27):}]`
`[{:(x),(y),(z):}]=[{:(1),(2),(2):}]`
अतः`x=1,y=2` तथा `z=3.`