दर्शाइए कि सरणिक `Delta=|{:((y+z)^(2),xy,zx),(xy,(x+z)^(2),yz),(xz,yz,(x+y)^(2)):}|=2xyz(x+y+z)^(3)`

Explanation

`Delta=|{:((y+z)^(2),xy,zx),(xy,(x+z),yz),(xz,yz,(x+y)^(2)):}|`
`R_(1),R_(2)`
और `R_(3)` में क्रमशः x,y तथा z का गुना करने zyz से भाग करने पर,
`=(1)/(xyz)|{:(x(y+z)^(2),x^(2)y,zx^(2)),(xy^(2),y(x+z)^(2),y^(2)z),(xz^(2),z^(2),z(x+y)^(2)):}|`
`C_(1),C(2)` और `R_(3)` से xyz तथा z अभयनिष्ठ लेने पर,
`=(1)/(xyz),xyz|{:(x(y+z)^(2),x^(2),zx^(2)),(xy^(2),y(x+z)^(2),y^(2)z),(z^(2),z^(2),(x+y)^(2)):}|`
`=|{:((c+z)^(3),x^(2),x^(2)),(y^(2),(x+z)^(2),y^(2)),(z^(2),z^(2),(x+y)^(2)):}|`
`=|{:((y+z)^(2-x^(2)),0,x^(2)),(0,(x+z)-y^(2),y^(2)),(z^(2)-(x+y)^(2),z^(2)-(x+y)^(2),(x+y)^(2)):}|`
`C_(1)to C_(1)-C_(3)` और `C_(2)toC_(2)-C_(3)` के प्रयोग से
`|{:((y+z+x)(y+z-x),0,x^(2)),(0,(x+z+y)(z-x-y),y^(2)),((z+x+y)(z-x-y),(z+x+y)(z-x-y),(x+y)^(2)):}|`
`=(x+y+z)=|{:(y+z-x,0,y),(0,x+z-y,y^(2)),(z-x-y,z-x-y,(x+y)^(2)):}|`
[`C_(1)` और `C_(2)` से `(x+y+z)` अभियनिष्ठ लेने पर]
`=(x+y+z)^(2)|{:(x+z-x,0,x^(2)),(0,y+z-t,y^(2)),(-2y,-2x,2xy):}|`
`R_(3)to R_(3)-(R_(1)+R_(2))` के प्रयोग से
`=((x+y+z)^(2))/(xy)|{:(xy+xz-x^(2),0,x^(2)),(0,xy+zy-y^(2),y^(2)),(-2xy,-2xy,2xy):}|`
`C_(1)toxC_(1)` तथा `C_(2)toyC_(2)` के प्रयोग से
`=((x+y+z)^(2))/(xy)|{:(xy+xz,x^(2),x^(2)),(y^(2),zy+zy,y^(2)),(0,0,2xy):}|`
`C_(1)toC_(1)+C_(3)` तथा `C_(2)toC_(2)+C_(3)` के प्रयोग से
`=((x+y+x)^(2))/(xy)xx xy xx 2xy|{:(x+z,x,x),(y,x+z,y),(0,0,1):}|`
`R_(1),R_(2)` तथा `R_(3)` के क्रमशः x,y तहत 2xy अभयनिष्ठ लेने पर,
`=2xy(x+y+x)^(2)|{:(y+z,x,x),(y,x+z,y),(0,0,1):}|`
`R_(1)` के अनुदिश प्रयास करने पर,
`=2xy(x+y+z)^(2)[1(y+z)(x+z)-xy]`
`=2xy(x+y+z)^(2)[xy+zx+yz+z^(2)-xy]`
`=2xy(x+y+z)^(2)[zx+yz+z^(2)]`
`=2xyz(x+y+z)^(2)[x+y+z]`
`=2xyz(x+y+z)^(2).`