सिद्ध करो कि `|{:((b+c)^(2),a^(2),a^(2)),(b^(2),(c+a)^(2),b^(2)),(c^(2),c^(2),(a+b)^(2)):}|=2abc(a+b+c)^(3).`

Explanation

प्रथम विधि :
`Delta=|{:((b+c)^(2)-a^(2),a^(2)-a^(2),a^(2)),(b^(2)-b^(2),(c+a)^(2)-b^(2),b^(2)),(c ^(2)-(a+b)^(2),c^(2)-(a+b)^(2),(a+b)^(2)):}|,(C_(1)-C_(3))`व`(C_(2)-C_(3))` से
`=|{:((b+c-a)(b+c+a),0,a^(2)),(0,(c+a-b)(c+a+b),b^(2)),((c-a-b)(c+a+b),(c-a-b)(c+a+b),(a+b)^(2)):}|,`
`=(a+b+c)^(2)|{:((b+c-a),0,a^(2)),(0,(c+a-b),b^(2)),((c-a-b),(c-a-b),(a+b)^(2)):}|,C_(1)`और `C_(2)` से `(a+b+c)` अभियनिष्ठ लेने पर
`=(a+b+c)^(2)|{:(b+c-a,0,a^(2)),(0,c+a-b,b^(2)),(-2b,-2a,2ab):}|, R_(3)` में से `(R_(1)+R_(2))` घटाने पर
`=(a+b+c)^(2)|{:(b+c,a^(2)//b,a^(2)),(b^(2)//a,c+a,b^(2)),(0,0,2ab):}|,`
`C_(1)` में `1/aC_(3)` जोड़ने पर तथा `C_(2)` में `1/bC_(3)` जोड़ने पर
`=(a+b+c)^(2).2ab|{:(b+c,a^(2)//b),(b^(2)//a,c+a):}|,R_(3)`के पदों में विस्तार करने पर
`=(a+b+c)^(2)2ab[(b+c)(c+a)-(a^(2))/(b)xx(b^(2))/(a)]`
`=(a+b+c)^(2)2ab[bc+ab+c^(2)+ca-ab]`
`=(a+b+c)^(2).2ab(bc+c^(2)+ca)`
`=2ab(a+b+c)^(3).`
द्वितीय विधि-यदि डिटर्मिनेन्ट में a के लिए 0 स्थापित करे, तो
`Delta=|{:((b+c)^(2),0,0),(b^(2),c^(2),b^(2)),(c^(2),c^(2),b^(2)):}|=(b+c)^(2)(b^(2)c^(2)-b^(2)c^(2))=0`
अतः a एक गुणनखण्ड है। इसी प्रकार b और c भी गुणनखण्ड है।
पुनः यदि `a+b+c=0` या `(b+c)`के लिए -a इत्यादि प्रतिस्थापित करे, तो
`Delta=|{:((-a)^(2),a^(2),a^(2)),(b^(2),(-b)^(2),b^(2)),(c^(2),c^(2),(-c^(2))):}|=0`
इसमें तीन सर्वसम संभव है। अतः `(a+b+c)^(2),Delta` का गुणनखण्ड है।
अग्रपाद (leading term) पर विचार करने से स्पष्ट है कि उपयुक्त डिटरीमेन्ट a,b,स में छठे घात का है। अतः उपयुक्त गुणनखण्डों के अतिरिक्त इनमे एक रैखिक गुणनखण्ड भी होगा। यह गुणनखण्ड a,b,स में समिमित भी होगा। अतः यह k(a+b+c) के बराबर है, जहाँ k कोई अचर है जिसका मान ज्ञात करना है।
`Delta=kabc(a+b+c)^(3)`
अतः यदि `a=1=b=c` प्रतिस्थापित करे तो
`Delta=|{:(4,1,1),(1,4,1),(1,1,4):}|=27k`
`54=27kimpliesk=2.`