I धारावाही, N फेरों ओर R त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए, इसके अक्ष पर, केन्द्र से x दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए निम्न व्यंजक है :
`B=(mu_(0)IR^(2)N)/(2(x^(2)+R^(2))^(3//2))`
(a) स्पष्ट कीजिए, इससे कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए सुपरिचित परिणाम, कैसे प्राप्त किया जा सकता है?
(b) बराबर त्रिज्या R, एवं फेरों की संख्या N वाली दो वृत्ताकार कुंडलियाँ एक-दूसरे से R दूरी पर एक-दूसरे के समांतर, अक्ष मिलाकर रखी गई है। दोनों में समान विघुत धारा एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही है। दर्शाइए की कुंडलियों के अक्ष के लगभग मध्यबिंदु पर क्षेत्र, एक बहुत छोटी दूरी के लिए जोकि R से कम है, एकसमान है और इस क्षेत्र का लगभग मान निम्न है :
`B=0.72 (mu_(0)NI)/(R)`
[बहुत छोटे-से-क्षेत्र पर एकसमान चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करने के लिए बनायी गई ऊपर वर्णित व्यवस्था हेल्महोल्ट्ज कुंडलियों के नाम से जानी जाती है।]

Explanation

(a) कुण्डली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र के लिए x = 0
`B=(mu_(0)iR^(2)N)/(2R^(3))=(mu_(0)Ni)/(2R)`
(b) चुम्बकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर = `(dB)/(dx)`
एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र के लिये `(dB)/(dx)` = नियत
`therefore (d^(2)B)/(dx^(2))=0`
एक कुण्डली के कारण चुम्बकीय क्षेत्र `B=(mu_(0)NiR^(2))/(2(a^(2)+x^(2))^(3//2))`
`therefore (dB)/(dx)=(mu_(0)NiR^(2))/(2)(d)/(dx)(R^(2)+x^(2))^(-3//2)`
`=(mu_(0)NiR^(2))/(2)((-3)/(2))(R^(2)+x^(2))^(-5//2)2x`
`=(-3)/(2)mu_(0)NiR^(2)(R^(2)+x^(2))^(-5//2)x`
`(d^(2)B)/(dx^(2))=(-3)/(2)mu_(0)NiR^(2)(d)/(dx)[x(R^(2)+x^(2))^(-5//2)]`
`=(-3)/(2)mu_(0)NiR^(2)[(R^(2)+x^(2))^(-5//2)+x((-5)/(2))(R^(2)+x^(2))^(-7//2)2x]`
`=(-3)/(2)mu_(0)NiR^(2)[(R^(2)+x^(2))^(-5//2)-5x^(2)(R^(2)+x^(2))^(-7//2)]`
`=(-3)/(2)mu_(0)NiR^(2)(R^(2)+x^(2))^(-7//2)[(R^(2)+x^(2))-5x^(2)]`
यदि `(d^(2)B)/(dx^(2))=0`, तब `(R^(2)+x^(2))-5x^(2)=0`
अथवा `4x^(2)=R^(2)` अथवा `x=pm(R)/(2)`
इस प्रकार, कुण्डली के केन्द्र से दोनों ओर `(R)/(2)` दूरी पर चुम्बकीय क्षेत्र दूरी बढ़ने पर एकसमान रूप से घटता है। अतः दोनों कुण्डलियों के बीच चुम्बकीय क्षेत्र `(R)/(2)` दूरी पर एकसमान है। वहाँ पर दोनों कुण्डलियों के कारण चुम्बकीय क्षेत्र
`B=2xx(mu_(0)NiR^(2))/(2(R^(2)+(R^(2))/(4))^(3//2))`
`=(8)/((5)^(3//2))(mu_(0)Ni)/(R)=0.77(mu_(0)Ni)/(R)`
यदि परिणाम हैल्महोल्ट्ज स्पर्शज्या धारामापी में प्रयुक्त किया जाता है।