Prove that:
(a) `(sin 2 theta)/(1+cos 2 theta)=tan theta` (b) `(1+sin 2 theta+cos 2theta)/(1+sin2 theta-cos 2 theta)=cot theta`

Explanation

(i) `LHS=(sin 2theta)/(1+cos 2theta)=(2sin thetacos theta)/(2 cos^(2)theta)=tan theta=RHS`
(ii) `LHS=(sin 2theta)/(1-cos 2theta)=(2sin theta cos theta)/(2sin^(2)theta)=cot theta=RHS`.
(iii) `LHS=(1+sin 2theta+cos 2theta)/(1+sin 2 theta-cos 2theta)`
`=((1+cos 2theta)+sin 2theta)/((1+cos 2theta)+sin 2theta)`
`=(2cos^(2)theta+2sin theta cos theta)/(2 sin^(2)theta+2 sin theta cos theta)`
`=(2costheta(cos theta+sin theta))/(2sin theta(cos theta+sin theta))=(cos theta)/(sin theta)=cot theta=RHS`.
(iv) `LHS=(1+sin theta-cos theta)/(1+sin theta+cos theta)=((1-cos theta)+sin theta)/((1+cos theta)+sin theta)`
`=(2sin^(2)(theta)/(2)+2sin(theta)/(2)cos(theta)/(2))/(2cos^(2)(theta)/(2)+2sin(theta)/(2)cos(theta)/(2))=(2sin(theta)/(2)(sin(theta)/(2)+cos (theta)/(2)))/(2cos (theta)/(2)(sin(theta)/(2)+cos(theta)/(2)))`
`=tan (theta)/(2)-RHS`.
(v) LHS`=(cos 2theta)/(1+sin 2theta)=(sin((pi)/(2)-2theta))/(1+COS((PI)/(2)-2theta))`
`=(2sin((pi)/(4)-theta)cos((pi)/(4)-theta))/(2cos^(2)((pi)/(4)-theta))`
`=tan ((pi)/(4)-theta)=RHS`.
(vi) LHS `=(costheta)/(1+sin theta)=(sin((pi)/(2)-theta))/(1+cos((pi)/(2)-theta))`
`= ( 2sin (( pi)/(4)- (theta)/(2))cos ((pi)/(4) - ( theta)/(2)))/(2 cos ^(2) (( pi)/(4) - ( theta)/(2)) ) = tan (( pi)/(4) - ( theta)/(2)) = R.H.S.`