`cot^(-1)((sqrt(1+sinx)+sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx)-sqrt(1-sinx)))=(x)/(2), x in (0,(pi)/(4))`

Explanation

We have,
LHS=`cot^(-1){(sqrt(1+sinx)+sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx)-sqrt(1-sinx)) xx (sqrt(1+sinx)+sqrt(1-sinx)/(sqrt(1+sinx)+sqrt(1-sinx))}`
`=cot^(-1){((1+sinx)+(1-sinx)+2sqrt(1-sin^(2)x)/((1+sinx)-(1-sinx))}`
`=cot^(-1){(2(1+cosx))/(2sinx)}=cot^(-1)(1+cosx)/(sinx)`
`=cot^(-1){(2cos^(2)(x/2))/(2sin(x/2)cos(x/2))}=cot^(-1)(cotx/2)=x/2`= RHS.
Hence, LHS=RHS.