Prove that
i) `cos^(-1)(1-2x^(2))=2sin^(-1)x`
ii) `cos^(-1)(2x^(2)-1)=2cos^(-1)x`.
iii) `sec^(-1)(1/(2x^(2)-1)=2cos^(-1)x`
iv) `cot^(-1)(sqrt(1-x^(2))-x)=pi/2-1/2cot^(-1)x`.

Explanation

i) Put `x=sintheta`, ii) Put `x=costheta`, iii) Put `x=tantheta`, iv)Putting `x=cottheta`, we get
`cot^(-1)(sqrt(1+x^(2))-x)=cot^(-1)("cosec"theta-cottheta)`
`=cot^(-1)(1-costheta)/(sintheta)=cot^(-1)(2sin^(2)theta/2)/(2sintheta/2costheta/2)`
`=cot^(-1)(tantheta/2)=cot^(-1)[cot(pi/2-theta/2)]`
`=pi/2-theta/2=(pi/2-1/2cot^(-1)x)`.