किसी परवलय कुल (family of parabolas) की नाभियाँ मूल बिंदु पर है तथा अक्षे x -अक्ष से संपाती है । इससे संबंधित अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये ।

Explanation

सर्वप्रथम हम इस कुल के किसी परवलय का समीकरण ज्ञात करते है ।
मानलो BAC परवलय है । A शीर्ष है और O नाभि है । LM नियता है । यदि OA=AN=a हो, तो परवलय का समीकरण `PO^(2)=PL^(2)` से प्राप्त होगा ।

अतः `x^(2)+y^(2)=(a+2a)^(2),`
क्योंकि ON=2a
`implies y^(2)=4a(a+x)`
a के भिन्न -भिन्न मानों के लिए जैसे
`a=1,a=2,a=3,......,a=-1,a=-2,a=-3,......`
परवलय कुल निम्न आकृति में दिखाया गया है ।

`y^(2)=4a(a+x)` का अवकलन करने पर
`2y=(dy)/(dx)=4a ` या `a=(2)/(4)y(dy)/(dx)=(1)/(2)y(dy)/(dx)`
अतः `y^(2)=4*(1)/(2)y(dy)/(dx)((1)/(2)y(dy)/(dx)+x)`
`=(y(dy)/(dx))^(2)+2xy(dy)/(dx)`
`implies y=y((dy)/(dx))^(2)+2x(dy)/(dx)`
`implies y((dy)/(dx))^(2)+2x((dy)/(dx))-y=0`
जो अभीष्ट अवकल समीकरण है ।