सिद्ध कीजिये कि ` lim _ ( xto 0) (a^(x) - b^(x))/x = log_( e). a/b " या " lim _( xto0) (a^(x) -b^(x))/x ` का मान ज्ञात कीजिये ।

Explanation

स्पष्ट है कि x=0 तो अंश तथा हर दोनों शून्य हो जाते है । अतः `a^(x)` तथा `b^(x)` का एक्स्पोनेंटी प्रमेय कि सहायता से प्रसार करने पर ,
बाया पक्ष = ` lim _ ( x to0) ( a^(x) -b^(x))/x = lim _( xto0) (e^(xlog_(e)a)-e^(x log _(e)b))/x`
`= lim_ ( x to 0) ([1= x log_(e)a+ ((x+log_(e)a)^(2))/(2!)]-[1+x log_(e) b+(x log_(e)b)^(2)/(2!)+. . . ])/x`
` = lim _ ( x to 0) {log_(e)a-log_(e) b+(x[(log_(e)a)^(2)-(log_(e)b)^(2)])/(2!)+ . . . . }`
` log_(e) a - log_(e) b = log_(e) (a/b) `= दाया पक्ष ।