सिद्ध कीजिए कि एक दिए हुए रेखाखंड पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना की जा सकती है।

Explanation

प्रदत्त कथन में, एक दी हुई लम्बाई का एक रेखाखंड, मान लीजिए, AB दिया है।

यूक्लिड की अभिधारणा (3) के अनुसार, बिंदु A को केन्द्र और AB त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींच सकते है| इसी प्रकार, B को केन्द्र मानकर और BA त्रिज्या लेकर एक अन्य वृत्त खींचा जा सकता है। ये दोनों वृत्त मान लीजिए बिंदु C पर प्रतिच्छेद करते है। अब A को C से तथा B को C से मिलाते हुए अभीष्ट रेखाएँ खींचते है, जिनसे एक `DeltaABC` की रचना होती है।
इसलिए आपको सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है अर्थात AB=AC=BC है।
अब AB=AC है क्योकि ये एक वृत्त कि त्रिज्याएँ है। ...... (1)
इसी प्रकार AB=BC (एक ही वृत्त कि त्रिज्याएँ) ...... (2)
उपरोक्त दोनों तथ्यों और यूक्लिड के पहले अभिगृहित (वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती है एक दूसरे के बराबर होती है) से आप निष्कर्ष निकाल सकते है कि AB=BC=AC है।
अतः `DeltaABC` एक समबाहु त्रिभुज है।