यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम p , q , r पदों का योगफल क्रमशः a , b तथा c हो तो सिद्ध कीजिए कि
`(a)/(p)(q-r)+(b)/(q)(r-p)+(c)/(r)(p-q)=0`

Explanation

माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद x और सार्वअंतर y है।
प्रश्नानुसार, `S_(p)=a`
`rArr (p)/(2)[2x+(p-1)y]=a`
`rArr (a)/(p)=x+(p-1)(y)/(2)`
`rArr (a)/(p)(q-r)=x(q-r)+(p-1)(q-r)*(y)/(2) " " `...(1)
इसी प्रकार, `S_(q)=b`
`rArr (q)/(2)[2x+(q-1)y]=b`
`rArr (b)/(q)=x+(q-1)(y)/(2)`
`(b)/(q) (r-p)=x(r-p)+(q-1)(r-p)(y)/(2) " "`...(2)
इसी प्रकार, `S_(r)=c`
`rArr (r)/(2)[2x+(r-1)y]=c`
`rArr (c)/(r)=x+(r-1)(y)/(2)`
`rArr (c)/(r)(p-q)=x(p-q)+(r-1)(p-q)(y)/(2) " " `...(3)
समीकरण (1), (2) और (3) को जोड़ने पर
`(a)/(p)(q-r)+(b)/(q)(r-p)+(c)/(r)(p-q)`
`=x{(q-r)+(r-p)+(p-q)} +(y)/(2){(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}`
`=0+(y)/(2)(pq-pr-q+r+qr-qp-r+p+rp-rq-p+q)`
`=0` यही सिद्ध करना था।