किसी समान्तर श्रेढ़ी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात `m ^(2 ) : n ^(2 )` है, तो दर्शाइए के m वें तथा n वें पदों का अनुपात `(2m -1 ):(2n -1 )` है।

Explanation

माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 'a ' और सार्वअंतर 'd ' है।
अब, `(S_(m))/(S_(n))=(m^(2))/(n^(2))`
`rArr ((m)/(2)[2a+(m-1)d])/((n)/(2)[2a+(n-1)d])=(m^(2))/(n^(2))`
`rArr (2a+(m-1)d)/(2a+(n-1)d)=(m)/(n)`
`rArr 2an +(nm-n)d=2am+(mn-m)d`
`rArr 2a(n-m)=d(n-m)`
`rArr 2a=d`
अब, `(T_(m))/(T_(n))=(a+(m-1)d)/(a+(n-1)d)=(a+(m-1)*2a)/(a+(n-1)*2a)`
`=(a(1+2m-2))/(a(1+2n-2))`
`=(2m-1)/(2n-1).` यही सिद्ध करना था।