किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1 , 7 , 21 घटाएँ तो हमें एक समान्तर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

Explanation

माना गुणोत्तर श्रेढ़ी में 3 संख्याएँ `a , ar , ar ^(2 )` है।
प्रश्नानुसार,
`a+ar+ar^(2)=56`
`rArr (1+r+r^(2))=56 " "` ...(1)
और `a-1,ar-7,ar^(2)-21` सामान्तर श्रेढ़ी में हैं।
`rArr 2(ar-7)=(a-1)+(ar^(2)-21)`
`rArr a(1+r^(2)-2r)=8`
`rArr (56)/(1+r+r^(2))(1+r^(2)-2r)=8` [समीकरण (1 ) से ]
`rArr 7(1+r^(2)-2r)=1+r+r^(2)`
`rArr 6r^(2)-15r+6=0`
`rArr 2r^(2)-5r+2=0 rArr (r-2)(2r-1)=0`
`rArr r =2 ` या `r=(1)/(2)`
यदि r = 2 तो `a=(56)/(1+2+2^(2))=8`
और संख्याएँ = 8, 16, 32.
यदि `r=(1)/(2)` तो `a=(56)/(1+(1)/(2)+(1)/(2^(2)))=32`
और संख्याएँ = 32, 16, 8.