किसी गुणोत्तर श्रेणी में S , n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए की `P ^(2 ) R ^(n ) =S ^ (n )`.

Explanation

माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 'a' और सार्वअनुपात 'r' है।
`therefore S =n` पदों का योग
`=a+ar+ar^(2)+...+a*r^(n-1)`
`S=(a(1-r^(n)))/(1-r) " "` ....(1) (माना r lt 1)

`R=(1)/(a)+(1)/(ar)+(1)/(ar^(2))+...+ (1)/(ar^(n-1))`
`=((1)/(a)*((1)/(r^(n))-1))/((1)/(r)-1) " "(because (1)/(r) gt 1)`
`=((1-r^(n)))/(ar^(n-1)(1-r)) " " `...(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से भाग देने पर
`(S)/(R)=(a(1-r^(n))*a*r^(n-1)*(1-r))/((1-r)(1-r^(n)))=a^(2)*r^(n-1)`
`rArr ((S)/(R))^(n)=(a^(2)*r^(n-1))^(n)`
`rArr (S^(n))/(R^(n))=a^(2n)*r^(n(n-1)) " " ` ...(3)
अब P = n पदों का गुणनफल
`=(a)(ar)(ar^(2)).....(a*r^(n-1))`
`=a^(n)*r^(1+2+3+...+(n-1))`
`=a^(n)*r^((n-1)/(2)(1+n-1))=a^(n)*r^((n(n-1))/(2))`
`rArr p^(2)=a^(2n)*r^(n(n-1))`
`rArr p^(2) =(S^(n))/(R^(n)) " "` [समीकरण (3 ) से ]
`rArr p^(2)*R^(n)=S^(n)` यही सिद्ध करना था।