किसी समान्तर श्रेणी का p वां, q वां, r वां पद क्रमशः a , b , c हैं, तो सिद्ध कीजिए -
`(q-r)a+(r-p)b+(p-q)c=0.`

Explanation

माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद 'x' और सार्वअंतर 'y' है।
`T_(p)=a`
`rArr x+(p-1)y=a " " `...(1)
`T_(q)=b`
`rArr x+(q-1)y=b " " ` ...(2)
`T_(r)=c`
`rArr x+(r-1)y=c " "`...(3)
समीकरण (1 ) से समीकरण (2 ) को घटाने पर
`(p-q)y=a-b`
`rArr y=(a-b)/(p-q) " "`...(4)
समीकरण (2 ) से समीकरण (3 ) को घटाने पर
`(q-r)y=b-c`
`rArr y=(b-c)/(q-r) " " `...(5)
समीकरण (4 ) और (5 ) से,
`(a-b)/(p-q)=(b-c)/(q-r)`
`rArr a(q-1)-b(q-r)=b(p-q)-c(p-q)`
`rArr a(q-r)-b(q-r)-b(p-q)+c(p-q)=0`
`rArr a(q-r)+b(-q+r-p+q)+c(p-q)=0`
`rArr a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0` यही सिद्ध करना था।