दो धनात्मक संख्याओं a और b के बीच समान्तर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य का अनुपात m : n है। दर्शाइए कि -
`a:b=(m+sqrt(m^(2)-n^(2))):(m-sqrt(m^(2)-n^(2)))`

Explanation

a और b का समान्तर माध्य `=(a+b)/(2)` और गुणोत्तर माध्य `=sqrt(ab)`
प्रश्नानुसार,
`((a+b)//2)/(sqrt(ab))=(m)/(n)`
`rArr (a+b)/(2sqrt(ab))=(m)/(n)`
योगान्तरानुपात के नियम से
`(a+b+2sqrt(ab))/(a+b-2sqrt(ab))=(m+n)/(m-n)`
`rArr ((sqrt(a)+sqrt(b))/(sqrt(a)-sqrt(b)))^(2)=(m+n)/(m-n)`
`rArr (sqrt(a)+sqrt(b))/(sqrt(a)-sqrt(b))=(sqrt(m+n))/(sqrt(m-n))`
पुनः योगान्तरानुपात के नियम से
`((sqrt(a)+sqrt(b))+(sqrt(a)-sqrt(b)))/((sqrt(a)+sqrt(b))-(sqrt(a)-sqrt(b)))=(sqrt(m+n)+sqrt(m-n))/(sqrt(m+n)-sqrt(m-n))`
`rArr (2sqrt(a))/(2sqrt(b))=(sqrt(m+n)+sqrt(m-n))/(sqrt(m+n)-sqrt(m-n))`
`rArr (sqrt(a))/(sqrt(b))=(sqrt(m+n)+sqrt(m-n))/(sqrt(m+n)-sqrt(m-n))`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
`(a)/(b)=(m+n+m-n+2sqrt(m^(2)-n^(2)))/(m+n+m-n-2sqrt(m^(2)-n^(2)))`
`=(m+sqrt(m^(2)-n^(2)))/(m-sqrt(m^(2)-n^(2)))`
`rArr a:b=(m+sqrt(m^(2)-n^(2))):(m-sqrt(m^(2)-n^(2)))` यही सिद्ध करना था।