यदि `S_(1),S_(2),S_(3)` क्रमशः प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है, तो सिद्ध कीजिए कि `9S_(2)^(2)=S_(3)(1+8S).`

Explanation

`S_(1)=Sigma n=(1)/(2)n(n+1)`
`S_(2)=Sigma n^(2)=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)`
और `S_(3)=Sigma n^(3)=(1)/(4)n^(2)(n+1)^(2)`
`R.H.S. =S_(3)(1+8S_(1))`
`=(1)/(4)n^(2)(n+1)^(2)*[1+8*(1)/(2)n(n+1)]`
`=(1)/(4)n^(2)(n+1)^(2)(1+4n^(2)+4n)`
`=(1)/(4)n^(2)(n+1)^(2)(2n+1)^(2)`
`=9*(1)/(36)n^(2)(n+1)^(2)(2n+1)^(2)`
`=9*[(1)/(6)n(n+1)(2n+1)]^(2)`
`=9*S_(2)^(2)=L.H.S.` यही सिद्ध करना था ।