प्रथम सिद्धान्त से निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए :
(i) `-x`
(ii) `(-x)^(-1)`
(iii) `sin(x+1)`
(iv) `cos(x-(pi)/(8))`

Explanation

(i) माना `f(x)=-x`
प्रथम सिद्धान्त से,
`f'(x)=lim_(hto0)(f(x+h-f(x))/(h)`
`=lim_(hto0)(-(x+h)-(-x))/(h)`
`=lim_(hto0)(-h)/(h)=lim_(hto0)(-1)=-1`
(ii) माना `f(x)=(-x)^(-1)=(1)/(-x)=-(1)/(x)`
प्रथम सिद्धान्त से,
`f'(x)=lim_(hto0)(f(x+h)-f(x))/(h)`
`=lim_(hto0)((-(1)/(x+h))-(-(1)/(x)))/(h)`
`=lim_(hto0)(-(1)/(x+h)+(1)/(x))/(h)=lim_(hto0)(-x+(x+h))/(hx(x+h))`
`=lim_(hto0)(h)/(hx(x+h))=lim_(hto0)(1)/(x(x+h))`
`=(1)/(x(x+0))=(1)/(x^2)`
(iii) माना `f(x)=sin(x+1)`
प्रथम सिद्धान्त से,
`f'(x)=lim_(hto0)(f(x+h)-f(x))/(h)`
`=lim_(hto0)(sin(x+h+1)-sin(x+1))/(h)`
`=lim_(hto0) (2cos (x+1+(h)/(2))sin.(h)/(2))/(h)`
`=lim_(hto0)(cos (x+1+(h)/(2))sin.(h)/(2))/((h)/(2))`
`= cos (x+1+0).1=cos(x+1)`
(iv) माना `f(x)=cos(x-(pi)/(8))`
प्रथम सिद्धान्त से,
`f'(x)=lim_(hto0)(f(x+h)-f(x))/(h)`
`=lim_(hto0)(cos(x+h-(pi)/(8))-cos(x-(pi)/(8)))/(h)`
`=lim_(hto0)(-2sin(x-(pi)/(8)+(h)/(2)).sin.(h)/(2))/(h)`
`=lim_(hto0)(-sin(x-(pi)/(8)+(h)/(2)).sin.(h)/(2))/((h)/(2))`
`=-sin(x-(pi)/(8)+0).1`
`=-sin(x-(pi)/(8))` .