बहुपद `x^(4)+2x^(3)-2x-1` में क्या जोड़ा जाए कि प्राप्त बहुपद `(x^(2)+2x-3)` से पूर्णतया विभाजित हो जाए ?

Explanation

माना `p(x)=x^(4)+2x^(3)-2x^(2)-2x-1`
और `g(x)=x^(2)+2x-3=(x-1)(x+3)`

वास्तविक भाजन में, हमें देखते है कि शेषफल `-4x+2` है । अतः यदि `-4x+2,p(x)` से घटा दिया जाए या `-(-4x+2)` अर्थात `4x-2,p(x)`, में जोड़ दिया जाए, तो शेषफल समाप्त हो जाएगा तथा नया बहुपद `x^(2)+2x-3` से पूर्णतया विभाजित हो जाएगा ।
अतः `(4x-2)` को दिये बहुपद `p(x)` में जोड़ना होगा
अन्य विधि : चूँकि `p(x)` को दूसरे घात के बहुपद `g(x)` से विभाजित किया जाता है अतः एक घात का बहुपद शेष बचेगा `" "[becauseg(x),p(x)" का गुणनखण्ड नहीं है"]`
माना `p(x)` में `(ax+b)` जोड़ा जाता है |
तब `h(x)=(x^(4)+2x^(3)-2x^(2)-2x-1)+(ax+b)` . . . (1)
यदि समीकरण `(1),x^(2)+2x-3` या `(x-1)(x+3)` से विभाज्य है, तो
`:." "h(-3)=0` और `h(1)=0`
`rArr" "(-3)^(4)+2(-3)^(3)-2(-3)^(2)-2(-3)-1+a(-3)+b=0`
`rArr" "81-54-18+6-1-3a+b=0rArr-3a+b=-14` . . . (2)
तथा `h(1)=0`
`rArr" "(1)^(4)+2(1)^(3)-2(1)^(2)-2(1)-1+a(1)+b=0`
`rArr" "1+2-2-2-1+a+b=0rArra+b=2` . . . (3)
समीकरण (2) से समीकरण (3) को घटाने पर
`-4a=-16rArra=4`
a का यह मान समीकरण (3) में रखने पर
`b=-2`
अतः जोड़ने वाला अभीष्ट बहुपद `=ax+b=4x-2`.