सिद्ध कीजिए कि `|{:((b+c)^(2),a^(2),a^(2)),(b^(2),(c+a)^(2),b^(2)),(c^(2),c^(2),(a+b)^(2)):}|=2abc(a+b+c)^(3)`

Explanation

बायाँ पक्ष `=|{:((b+c)^(2)-a^(2),0,a^(2)),(0,(c+a)^(2)-b^(2),b^(2)),(c^(2)-(a+b)^(2),c^(2)-(a+b)^(2),(a+b)^(2)):}|(C_(1)toC_(1)-C_(3)"तथा"C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=(b+c+a)^(2)|{:((b+c)-a,0,a^(2)),(0,(c+a)-b,b^(2)),(c-(a+b),c-(a+b),(a+b)^(2)):}|`
`=(a+b+c)^(2)|{:(b+c-a,0,a^(2)),(0,c+a-b,b^(2)),(-2b,-2a,2ab):}|R_(3)toR_(3)-(R_(1)+R_(2))`
`=((a+b+c)^(2))/(ab)|{:(ab+ac-a^(2),0,a^(2)),(0,cb+ab-b^(2),b^(2)),(-2ab,-2ab,2ab):}|`
प्रथम स्तम्भ को a से तथा द्वितीय स्तम्भ को b से गुणा करने पर `=((a+b+c)^(2))/(ab)|{:(ab+ac,a^(2),a^(2)),(b^(2),cb+ab,b^(2)),(0,0,2ab):}|`
`(C_(1)+C_(3)"तथा"C_(2)+C_(3)"संक्रिया करने पर")`
`=((a+b+c)^(2))/(ab)ab|{:(b+c,a,a),(b,a+c,b),(0,0,2ab):}|`
`=(a+b+c)^(2)xx2ab[(b+c)(c+a)-ab]`
`=(a+b+c)^(2)xx2ab[bc+ab+c^(2)+ac-ab]`
`=(a+b+c)^(2)2abc(a+b+c)`
`=2abc(a+b+c)^(3)=` दायाँ पक्ष