फलन ` f ( x ) ` की `x = 0, 1 , 2 ` पर सांतत्यता का परीक्षण कीजिये, यदि
` f ( x ) = {{: ( - x ^(2)",",, "if " x le 0 ) , ( 5x - 4",",, "if " 0 lt x le 1), ( 4 x ^(2) - 3x",",,"if " 1 lt x lt 2 ), ( 3x + 4",",,"if " x ge 2 ):}`

Explanation

हमें फलन की तीन बिंदुओं ` x = 0, x = 1 ` तथा ` x = 2 ` पर सांतत्यता की जाँच करनी है |
बिंदु x =0 पर फलन की सांतत्यता की परीक्षण फलन की वाम पक्ष सीमा
माना ` x = 0 - h ` यदि ` x = 0 rArr h = 0 `
` therefore lim _ ( x to 0 ) rArr lim _ ( hto0 ) `
` therefore lim _ ( x to 0^(-)) f ( x ) = lim _ ( h to 0) f ( 0 - h) `
` = lim _ ( h to 0) [ - ( 0 -h) ^(2) ] `
`[because `यहाँ ` f ( x ) = - x ^(2) ` का प्रयोग होगा | ]
` = lim _ ( h to 0 ) [ - h ^(2)] = 0 " " `...(1)
फलन की दक्षिण पक्ष सीमा
माना ` x = 0 + h ` यदि ` x = 0 rArr h = 0 `
` therefore lim _ ( x to 0 ) rArr lim _ ( h to 0 ) `
` therefore lim _ ( x to 0 ^(+)) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 0 + h ) `
` = lim _ ( h to 0) [ 5 ( 0 + h ) -4] `
`[because ` यहाँ `f(x) = 5x - 4 ` का प्रयोग होगा |]
` = lim _ ( h to 0 ) [ 5h - 4] `
` = 5 xx 0 - 4 = 4 " " `... (2)
समीकरण (1 ) व (2 ) से स्पष्ट है, कि ` x = 0 ` पर
फलन की वाम पक्ष सीमा ` ne ` फलन की दक्षिण पक्ष सीमा
अतः फलन ` f ( x ) , x = 0 ` पर सतत नहीं है, अर्थात ` x = 0 ` पर फलन असतत है |
बिंदु ` x = 1` पर फलन की सांतत्यता की जाँच फलन की वाम पक्ष सीमा
माना ` x = 1 - h` यदि ` x = 1 rArr h = 0 `
` therefore lim _ ( x to 0 ) rArr lim _ ( h to 0 ) `
` therefore lim _ ( x to 1 ^( - ) ) f ( x ) = lim _ ( h to 0) f ( 1 - h ) `
` = lim _ ( h to 0 ) [ 5 ( 1 - h ) - 4] `
` [ because f (x) = 5 x - 4 ` का प्रयोग होगा ]
` =lim _ ( h to 0 ) ( 5 - 5h - 4 ) `
` = lim _ ( h to 0 ) ( 1 - 5h ) = 1 - 5 xx 0 = 1 -0 = 1 `
फलन की दक्षिण पक्ष सीमा
माना ` x = 1 + h ` यदि ` x = 1 ` तब ` h = 0 `
` therefore lim _ ( x to 1 ) rArr lim_ ( h to 0 )`
` therefore lim _ ( x to 1 ^(+)) f (x) = lim _ ( h to 0) f ( 1 + h ) `
` = lim _ ( h to 0 ) [ 4 ( 1 + h) ^(2) - 3 ( 1 + h) ] `
` [ because f ( x ) = ( 4 x ^(2) - 3x ) ` का प्रयोग होगा | ]
` = lim _ ( h to 0 ) ( 4h^(2) + 8 h + 4 - 3 - 3h ) `
` = lim _ ( h to 0 ) [ 4h ^(2) + 5h + 1 ] `
` = 0 + 0 + 1 = 1 `
` x = 1 ` पर ` f ( x ) = 5x - 4 therefore f ( 1) = 5 - 4 = 1 `
अतः x = 1 पर, फलन की वाम पक्ष सीमा = फलन की दक्षिण
पक्ष सीमा = फलन का मान
अतः x =1 पर फलन सतत है |
` x = 2 ` पर फलन की सांतत्यता की जाँच फलन की वाम पक्ष सीमा
माना ` x = 2 - h ` यदि ` x = 2 rArr h = 0 `
` therefore lim_ ( x to 2 ) rArr lim _ ( h to 0 ) `
` therefore lim _ ( x to 2 ^( - )) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 2 - h ) `
` = lim _ ( h to 0 ) [ 4 ( 2 - h ) ^(2) - 3 ( 2- h ) ] `
` [ because f ( x ) = ( 4 x ^(2) - 3x ) `का प्रयोग होगा |]
` = lim _ ( h to 0 ) [ 4h ^(2) - 16 h + 16 - 6 + 3h ] `
` = lim _ ( h to 0 ) [ 4h ^(2) - 13 h + 10] `
` = 0 - 0 + 10 = 10 `
फलन की दक्षिण पक्ष सीमा
माना ` x = 2 + h ` यदि ` x = 2 rArr h = 0 `
` therefore lim _ ( x to 2 ) rArr lim _ ( h to 0 ) `
` therefore lim _ ( x to 2^(+)) f ( x ) = lim _ ( h to 0 ) f ( 2 + h ) `
` = lim _ ( h to 0 ) [ 3( 2 + h ) + 4 ] `
`[because f ( x ) = 3x + 4 ` का प्रयोग होगा |]
` = lim _ ( h to 0 ) [ 10 + 3h ] = 10 + 0 `
` = 10 `
` because x = 2 ` पर ` f ( x ) = 3x + 4 `
` therefore f ( 2 ) = 3xx2 + 4 = 10 `
अतः ` x = 2 ` पर, फलन की वाम सीमा = फलन की दक्षिण पक्ष सीमा = फलन का मान
अतः x = 2 पर फलन सतत है |