फलन ` f ( x ) = |x| + |x - 1| ` की सांतत्यता की जाँच `[ - 1, 2] ` अन्तराल में कीजिये |

Explanation

दिया गया फलन निम्न प्रकार परिभाषित किया जा सकता है -
` f ( x) = {{:(1-2x,,, "यदि " - 1 le x le 0 ) , ( 1, ,, "यदि " 0 lt x le 1 ), (2x - 1 , ,, "यदि " 1 lt x le 2):}`
हम जानते है कि बहुपदीय फलन तथा अचर फलन सदैव सतत होते है | इसलिए फलन ` f ( x ), - 1 le x le 0 , 0 lt x le 1 ` तथा ` 1 lt x le 2 ` पर सतत है | अब हम सांतत्यता की जाँच ` x = - 1, 0 , 1 ` व 2 पर करेंगे |
स्थिति I ` x = - 1 ` पर,
फलन की दायीं सीमा = ` f ( - 1 + 0 ) `
` = lim _ ( x to 1 ^+) f ( x ) = lim _ ( x to - 1 ^(+)) (1 - 2 x ) = 1 + 2 = 3 `
तथा ` f ( x ) = 1 - 2x ` जब ` x = - 1 `
इसलिए ` f ( - 1 ) = 1 - 2 ( - 1 ) `
` " " = 1 + 2 = 3 `
` rArr lim _ ( x to - 1^+) f (x) = f ( - 1 ) `
` rArr ` फलन ` f ( x ), x = - 1 ` पर सतत है |
स्थिति -II x = 0 पर,
` lim _ ( x to 0 ^-) f ( x ) = lim _ ( x to 0 ^-) ( 1 - 2x ) = 1 - 2 xx 0 = 1 `
तथा ` lim _ ( x to 0 ^(+) ) f ( x ) = lim _ ( x to 0 ^(+) ) ( 1 ) = 1 `
व ` f ( 0 ) = 1 `
स्पष्टतः ` lim _ ( x to 0 ^(- ) ) f ( x) = lim _ ( x to 0 ^+) f ( x ) = f ( 0 ) = 1 `
` rArr ` फलन ` f ( x ) `, बिंदु ` x = 0 ` पर सतत है |
स्थिति - III ` x = 1 ` पर
` lim _ ( x to 1 ^-) f ( x ) = lim _ ( x to 1 ^-) ( 1) = 1 `
तथा ` lim _ ( x to 1^+) f ( x ) = lim _ ( x to 1^+) ( 2x - 1 ) = 1 `
व ` f ( 1 ) = 1 `
स्पष्टतः ` lim _ ( x to 1^-) f ( x ) = lim _ ( x to 1 ^+) f ( x) = f ( 1 ) = 1 `
अतः फलन ` f ( x) `, बिंदु ` x = 1 ` पर सतत है |
स्थिति -IV ` x = 2 ` पर
` lim _ ( x to 2^-) f ( x ) = lim _ ( x to 2^-) ( 2x - 1 ) = 4 - 1 = 3 `
तथा ` f (2 ) = 2xx2 - 1 = 3`
`rArr ` फलन ` f ( x ) ` बिंदु ` x = 2 ` पर सतत है |
अतः हम कह सकते है कि फलन ` f ( x ) `, अन्तराल `[ - 1, 2 ] ` के प्रत्येक बिंदु पर सतत है |